18–2017–ב

המספרים הממשיים (מערכת האקסיומות). סופרימום ואינפימום של קבוצה. קיום שורשים של מספרים חיוביים. 1. סדרות מתכנסות. תת-סדרות. סדרות קושי. משפט בולצנו-ויירשטראס. גבולות עליונים ותחתונים. 2. טורים. סכומים חלקיים. טורים מתכנסים ומתבדרים. תנאי קושי. טורים של מספרים אי-שליליים. מבחני השורש והמנה. טורים כלליים. מבחני דיריכלה, לייבניץ ואבל. שינוי סדר הסכימה. משפט רימן. 3. גבול של פונקציה. פונקציות רציפות. רציפות של פונקציות אלמנטאריות. תכונות של פונקציות רציפות בקטע סגור. פונקציות רציפות במידה שווה. משפט קנטור. 4. הנגזרת של פונקציה. משפט הערך הממוצע. נגזרות מסדר גבוה. כלל לופיטל. משפט טיילור.

1. אינטגרל רימן: סכומי רימן, המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי. שיטות לחישוב אינטגרלים (אינטגרציה בחלקים, חילוף משתנה, שברים חלקיים). אינטרגלים לא אמיתיים ושימוש לטורים. אינטגרציה נומרית. נוסחת סטירלינג ושימושים נוספים אם יתיר הזמן.
2. התכנסות במידה שווה והתכנסות נקודתית. תנאי קושי ובוחן ויירשטראס. טורי חזקות. טורי טיילור. פונקציות אנליטיות-ממשיות ופונקציות חלקות. קונבולוציות, קירובי יחידה ומשפט הקירוב של ויירשטראס. שימושים נוספים ככל שיתיר הזמן.
3. חזרה על וקטורים ב-R^n והעתקות לינאריות, הנורמה האוקלידית ואי-שוויון קושי שוורץ. מושגים טופולוגיים בסיסיים ב-R^n. העתקות רציפות בכמה משתנים. מסילות במרחב, אורך מסילה. נגזרות חלקיות וכווניות, דיפרנציאביליות ופונקציות C^1. כלל השרשרת. הגרדיינט. פונקציות סתומות וכופלי לגרנז‘. בעיות אקטרמום בתחום חסום.

1. מרחבי מכפלה פנימית ומרחבים נורמיים. משפט על קיום היטל לתת- מרחב בעל מימד סופי. מערכות אורתונורמליות ואורתוגונליות במרחבים ממימד אינסופי. אי שיויון בסל ושיויון פרסבל, מערכות אורתונורמליות סגורות. מערכת האר.
2. טור פורייה (הצורה הממשית והצורה המרוכבת).קירובי יחידה, שלמות של המערכת הטריגונומטרית\האקספוננציאלית. התכנסות במידה שווה של טורי פורייה של פונקציות גזירות ברציפות למקוטעין בקטעים סגורים של רציפות. תופעת גיבס. גזירה ואינטגרציה איבר-איבר.
3. התמרת פורייה. משפט הקונבולוציה. שיויון פלנשרל. שימושים לפונקציות חסומות בתדר ומשפט הדגימה של שנון.
4. התמרת לפלס. נוסחאות בסיסיות והקשר להתמרת פורייה. טבלת התמרות לפלס. קונבולוציות. שימושים של התמרת לפלס לפתרון של משוואות דיפרנציאליות רגילות.
5. מבוא לפילוגים (דיסטריבוציות). גזירה של פילוג, דלתא של דיראק ונגזרותיה. טורי פורייה, התמרת פורייה והתמרת לפלס של פילוגים.

מטרת הקורס להקנות לסטודנטים מיומנות בפתרון יצירתי של בעיות ממגוון תחומים במתמטיקה באופן המדמה במידת מה מחקר מתמטי (ובשונה מקורסים רגילים, בהם עבודות הבית קשורות ישירות לחומר הנלמד בשיעור). הקורס יתמקד בבעיות בהן נדרשים כלים ממספר תחומים מתמטיים להבנת הבעיה ולפתרונה, ויחשוף בפני הסטודנטים טפח מאופיה של המתמטיקה כתחום ידע שלם שבו - בין תת-תחומים שונים לכאורה ? מתגלים קשרים לא צפויים ועמוקים המטילים אור חדש על הבנתנו תחומים אלו. הבעיות יתמקדו בתכנים במתמטיקה קלסית ומודרנית, אשר ? בין היתר בשל אופים הבין תחומי ? אינם מכוסים בד“כ בקורסי הליבה שמציעה המחלקה ,לדוגמה: אקסיומת הבחירה ושימושיה הפרדוקס של בנך-טרסקי, מספרים טרנסצנדנטים וכו. השיעורים יתחלקו בין הרצאות רקע של המרצה (בהתאם לנושאים הנלמדים, ולרקע הנדרש מן הסטודנטים) לבין הצגת הסטודנטים את פתרונותיהם לבעיות שניתנו להם בשיעורים הקודמים. בנוסף לאמור לעיל, יסייע הקורס לסטודנטים בשיפור מיומנויותיהם בחיפוש בספרות המתמטית וכן בכתיבה ובהצגה של הוכחות מתמטית.

תורת ההסתברות: משתנים בודדים ורציפים, תלויים ובלתי תלויים, שש התפלגויות בודדות בסיסיות: ברנולי, בינומית, אחידה, גיאומטרית, בינומית שלילית, פואסונית. ממוצע, שונות, מומנטים, פונקציה יוצרת הסתברות.חמש התפלגויות רציפות בסיסיות: אחידה, נורמלית, אקספוננציאלית, גמה, ביתא. פונקציה יוצרת מומנטים. מאורעות, הסתברות מותנת, הִזְדַּקְּנוּת של מולקולות, אנטרופיה. יצירת הסתברויות שונות. הרבה משתנים מקריים. ספרית EST. שונות מאורבת וקורלציות, מינימום ומקסימום של הרבה משתנים מקריים.סטטיסטיקה תיאורית, דגימה מקרית. גישה קלאסית נגד באיזיאנית. התפלגות של ממוצע המדגם ושונותו, שיטות לקבלת אומדים נקודתיים, אומרן הממוצע, אומדן השונות, חסר הטיה ובעל הטיה, MSE, רווחים בני סמך עבור פרמטרים של ההתפלגות, רעיונות בסיסיים והגדרות עבור בדיקת השערות סטטיסטיות, טעויות מסוג I ו-II, ערכי - P. בחנים בקשר לממוצעים, לשונויות ולפרופורציות, מבחני התאמת עקום, מקדם המתאם ומבחנים ביחס אליו, רגרסיה ליניארית . אינפורמציה, ערך מקסימלי כי-סטטיסטי. בלי פרמטרים: Mann-Whitney ותמורה.גישה באיזיאנית לבדיקת השערות ולאמידה.ANOVA - חד-כיווני ודו-כיווני.עוד על הגישה הקלאסית: אספקטים של אופטימליות.BLAST.

חזרה על הסתברות: מושגים בסיסיים. משתנים מקריים, התמרה של משתנים מקריים, אי-תלות. תוחלת, שונות, מתאם, תוחלת מותנית. אי-שוויונות: הערכת הממוצע. אי-שוויון Hoeffding. התכנסות של משתנים מקריים: סוגי התכנסות. חוק המספרים הגדולים. משפט הגבול המרכזי. הסקה סטטיסטית: מבוא. מודלים פרמטריים ומודלים אי-פרמטריים. אמידה נקודתית, רווח בר-סמך, בדיקת השערות. אמידה נקודתית פרמטרית: שיטות למציאת אומדים: שיטת המומנטים; נראות מקסימלית; שיטות אחרות. תכונות של אומדים נקודתיים: הטיה; פונקצית הפסד ? תוחלת רבוע הטעות; עקביות. תכונות של אומד נראות מקסימלית. דוגמאות לחישוב אומד נראות מקסימלית. אמידה ברווח: מבוא. משתנה הציר. דגימה מהתפלגות נורמלית: רווח בר-סמך עבור תוחלת ושונות. רווח בר-סמך עבור מדגמים גדולים. עקרונות בדיקת השערות: מודלים פרמטריים לעומת אי-פרמטריים. מבוא והגדרות עיקריות. דגימה מהתפלגות נורמלית. p-values. התפלגות ?^2 ומבחני ?^2. מבחני טיב התאמה. מבחני אי-תלות. פונקצית התפלגות אמפירית. מבחן קולמוגורוב-סמירנוב. רגרסיה: רגרסיה לינארית. שיטת הרבועים הפחותים ונראות מקסימלית. תכונות של אומדים. חזוי. טפול ב‘רעש‘; תוצאות חריגות.

. מבוא: מושגים יסוד מתורת הפונקציות:שדות מספריים (רציונליים, ממשיים).שדה המספרים המרוכבים), הצגה אלגברית, הצגה קוטבית (טריגונומטרית), נוסחת אוילר, מציגות שרשרם הגדרת שדה. שדות סופיים Zp.2. מערכת משוואות ליניאריות מעל השדות הנ“ל:הגדרת מושגים בסיסיים. מערכות שקולות, פעולות יסודיות, פתרון על ידי שיטת האלימינציה של גאוס, מערכת משוואות ליניאריות ומטריצות, הצגה מטריצאלית של מערכת ופתרון של מערכת בעזרת ההצגה. דרגת מטריצה, דרגות חופש. צורה קנונית, מערכות הומוגניות. פתרון כללי למערכות לא הומוגניות בעזרת פתרון כללי להומוגנית המתאימה.3. מרחבים ווקטוריים מעל שדה:הגדרה ודוגמאות (מרחב שורות, מרחב מטריצות, מרחב פולינומים, מרחב פונקציות). תת-מרחבים. דוגמאות, קריטריון של תת-מרחב. חיתוך וחיבור תת מרחבים. קומבינציה ליניארית של וקטורים. פרישה ליניארית. תלות ואי תלות ליניארית. בסיס וממד. משפט המימד עבור סכום תתי-מרחבים. מרחב השורה ומרחב העמודה של מטריצה, דרגה של מטריצה, משוואות ליניאריות ומרחבים וקטוריים, קואורדינטות.4. מטריצות:כפל מטריצות, מטריצות ריבועיות, חזקות ופולינומים של מטריצות, אלכסון ועקבה, סוגים של מטריצות, מטריצות הפיכות, חישוב של מטריצה הופכית, שינוי בסיס.5. דטרמיננטות:מקרים פרטיים (n=2,3), הגדרה רקורסיבית, פיתוח לפי שורה ועמודה, תכונות (תשובות dif=0, כפליות,מולטילינאריות), חישוב דטרמיננטות שרירותיות, יישומים: כלל קרמר, מטריצה צמודה וחישוב של מטריצה הופכית.6. פולינומים מעל שדה: התחלקות, פירוק לגורמים ((adjoint, מחלק משותף גדול ביותר.7. טרנספורמציות ליניאריות:הגדרות, דוגמאות (כולל הגדרת אופרטור ליניארי, איזומורפיזם), גרעין ותמונה של טרנספורמציות ליניאריות, משפט המימד, הצגה מטריציונית, החלפת בסיס ודמיון מטריצות.8. ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים:לכסון של אופרטורים ליניאריים. הפולינום האופייני, חישוב ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצה, לכסון מטריצות. 9. מרחבי מכפלה פנימית:הגדרות, אי שוויון קושי שוורץ, אי שוויון בסל, בסיסים אורטוגונליים ואורטונורמליים, תהליך האורטוגונליזציה של גראם שמידט.

• שדות: הגדרת שדה, מספרים מרוכבים.
• משוואות ליניאריות: פעולות אלמנטריות, דרוג, מערכות הומוגניות ולא הומוגניות, הצגת פתרונות.
• מרחבים ווקטוריים: דוגמאות, תת-מרחבים,תלות ליניארית, בסיסים, מימד.
• חשבון מטריצות: חיבור וכפל מטריצות, פעולות אלמנטריות, מטריצה הפכית, דטרמיננטה, כלל קרמר.
• טרנספורמציות ליניאריות: דוגמאות, גרעין ותמונה, הצגה מטריציאלית.
• ליכסון אופרטורים: ערכים ווקטורים עצמיים, פולינום אופייני, שימושים.
• תבניות בילינאריות
• מרחבים עם מכפלה פנימית (ממד סופי)
• אופרטורים על מרחבים אלו: הצמוד, אופרטורים צמודים לעצמם, אוניטריים נורמאליים, כולל לכסון.

חלק א‘: הבסיס של תורת הקבוצות1. מושג הקבוצה ופעולות האיחוד, החיתוך ההפרש וההשלמה על קבוצות. קבוצת החזקה. 2. משפט האינדוקציה של המספרים הטבעיים. אינדוקציה שלמה, עקרון האבר המינימאלי. שימושים. 3. זוגות סדורים והמכפלה הקרטזית. מושג היחס.4. הפונקציה. תחום וטווח. פונקציה חד-חד ערכית. פונקציה על. הרכבת פונקציות. המינימאלי. שימושים.חלק ב‘: תחשיב הפסוקים 1. הקשרים.2. השקילויות הבסיסיות.3. צורה דיסיונקטיבית נורמלית.4. שלמות מערכות של קשרים.חלק ג‘: תחשיב הפרדיקטים 1. שפת תחשיב הפרדיקטים. נוסחאות, שמות עצם ופסוקים.2. מבנים ודוגמאות למבנים.3. השמות וספוק נוסחאות במבנים.4. שקילות לוגית וגרירה לוגית.5. שקילות אלמנטרית וקבוצות גדירות.חלק ד‘: יסודות חשבון עוצמות 1. מושג העוצמה.2. קבוצות סופיות וקבוצות אינסופיות.3. קבוצות שעוצמתן שווה לעוצמת קבוצות המספרים הטבעיים.4. משפט קנטור על עוצמת קבוצת החזקה.5. עוצמת המספרים הממשיים ועוצמת (N) P.

לוגיקה ותורת הקבוצות: תחשיב הפסוקים, אופרטורים בוליאניים וטבלאות האמת שלהם, ערך האמת של פסוקים בהשמה, שקילות לוגית וגרירה לוגית, טאוטולוגיות ופסוקים שקריים, הטאוטולוגיות החשובות, למשל, חוקי הפילוג, ונוסחאות דה-מורגן. קבוצות: שייכות, איחוד, חיתוך, הפרש, מכפלה קרטזית, מושג היחס, יחסי שקילות, יחס סדר חלקי, יחס סדר קווי. פונקציות. קומבינטוריקה בסיסית: אינדוקציה, עקרונות ספירה בסיסיים, מקדמים בינומיאליים שיטת ההכלה וההדחה, רקורסיה, פונקציות יוצרות גרפים: מושגים כלליים ודוגמאות, איזומורפיזם, קשירות. גרפי אוילר. עצים.

. מספרים מרוכבים: הצגה קרטזית והצגה קוטבית. פונקציות מרוכבות, תכונות יסודיות של פונקציות אנליטיות, הפונקציה המעריכית, פונקציות טריגונומטריות. הגדרת אינטגרל קווי, נוסחת קושי. רזידואוס וקוטב. שימושים ברזידואוס לחישוב של אינטגרלים לא אמיתיים. 2. מרחבי מכפלה פנימית של פונקציות. מערכות אורתוגונליות ומערכות אורתונורמליות. טורי פורייה מוכללים. משפט היטל אורתוגונלי. אי-שוויון בסל, שוויון פרסבל. 3. טורי פורייה טריגונומטריים. טור פורייה מרוכב. טורי פורייה בקטעים שונים. התכנסות נקודתית והתכנסות במידה שווה של טור פורייה. שלמות של מערכת טריגונומטרית ושוויון פרסבל. גזירה ואינטגרציה של טור פורייה. 4. אינטגרל פורייה כגבול של טור פורייה. התמרת פורייה: הגדרה ותכונות יסודיות. התמרת פורייה הפוכה. משפט הקונבולוציה, שוויון פרסבל עבור התמרת פורייה. הקשר בין התמרת פורייה והתמרת לפלס. שימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות, שימושים לעיבוד אותות. 5. תורת ההתפלגויות (דיסטריבוציות). פונקציית הביסייד, פונקצית דלטה. גזירת התפלגויות. סדרות מתכנסות של התפלגויות. התמרת פורייה במרחב התפלגויות.