22–2021–ב

גרפים ותת גרפים, עצים, קשירות, מסלולי אוילר, מעגלים המילטוניים, זיווגים, צביעות של גרפים, גרפים מישוריים, מבוא לתורת רמזי, גרפים מכוונים, שיטות הסתברותיות ואלגבריות בתורת הגרפים.

מרחבים טופולוגיים ופונקציות רציפות (מרחבי מכפלה, מרחבי מנה ומרחבים מטריים). קשירות וקומפקטיות. תנאי מניה והפרדה (הלמה של אוריסון, משפט המטריזציה של אוריסון, חלוקת קטע היחידה). משפט טיכונוף וקומפקטיפיקציית סטון-צ‘ך. משפטי מטריזציה ופרה-קומפקטיות.

• מספרים מרוכבים. פונצקיות אנליטיות, משוואות קושי-רימן.
• העתקות קונפורמיות, טרנספורמציות מוביוס.
• אינטגרציה. משפט קושי. נוסחת קושי. אפסים, קטבים, פיתוח טיילור, פיתוח לורן. חשבון השאריות.
• משפט ויירשטרס ומשפט מיטג-לפלר. פונקציות שלמות. משפחות נורמליות.
• משפט ההעתקה של רימן. פונקציות הרמוניות, בעיית דיריכלה.

• שדות: עובדות בסיסיות ודוגמאות, אפיון (קרקטריסטיקה), שדות ראשוניים
• פולינומים: פריקות, מבחן איזנשטיין, למת גאוס
• הרחבות של שדות: תכונת המגדל, הרחבות אלגבריות וטרנסצנדנטיות, צרוף אבר לשדה
• בניות בסרגל ומחוגה
• סגורים אלגבריים: קיום ויחידות
• שדות פיצול
• הרחבות גלואה: אוטומורפיזמים, נורמליות, ספרביליות, שדות שבת, חבורות גלואה, המשפט היסודי של תורת גלואה
• הרחבות ציקליות
• פתרון משואות פולינומיאליות על-ידי רדיקלים: חבורת גלואה של פולינום, הדיסקרמיננטה, נוסחאת קרנדו-טרטגליאה, חבורות פתירות, משפט גלואה אודות פתירות על-ידי רדיקלים
• שרשי יחידה: הרחבות ציקלוטומיות, הפולינומים הציקלוטומיים ואי-פריקותם
• שדות סופיים: קיום ויחידות, חבורות גלואה מעל שדות סופיים, אברים פרמיטיביים

נושאים

1. מבוא ומושגים בסיסיים.
2. חסמים על גודל קודים.
3. שדות סופיים.
4. קודים ליניאריים.
5. קודים מושלמים.
6. קודים ציקליים.
7. אריזות כדורים.
8. חסמים אסימפטוטיים על גודל קודים.

יריעות דיפרנציאביליות משוכנות במרחב האוקלידי עם שפה. המרחב המשיק, הנורמל, שדות וקטורים. יריעות אוריינטביליות, אוריינטציית הנורמל החיצוני. פירוקי יחידה חלקים. תבניות דיפרנציאליות על יריעות משוכנות. הנגזרת החיצונית. אינטגרציה של תבניות דיפרנציאליות ומשפט סטוקס המוכלל. ניסוחים קלאסיים של מקרים פרטיים (גרדיינט, רוטור ודיברגנץ ומשפטי גרין, סטוקס וגאוס). תבניות סגורות ומדויקות. שדות וקטוריים משמרים וקיום הפוטנציאל. שימושים למשוואות דיפרנציאליות מדויקות. מבוא לגיאומטריה דיפרנציאלית: עקמומיות של עקומים ומשטחים במרחב התלת מימדי, העתקת גאוס משפט גאוס-בונה (אם יתיר הזמן).

משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר $N$, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.

1. נושאי הכנה: ייצוג מספרים במחשב, שגיאות עיגול ויציבות. נורמות מטריצליאליות ומספר המצב של מטריצה.
2. מבוא לפתרון נומרי של משוואות דיפרנציאליות רגילות: בעיות תנאי התחלה, שיטת אוילר, מבוא לשיטות multistep, בעיות תנאי שפה.
3. שיטות נומריות לפתרון משוואות לינאריות: אלימינציית גאוס עם החלפות ציר, פירוק LU. שיטות איטרטיביות: יעקובי, גאוס-סיידל, שיטת הגרדיינט הצמוד. קירובי ריבועים פחותים.
4. שיטות נומריות למציאת ערכים עצמיים: מעגלי גרשגורין. שיטת החזקה. שיקולי יציבות בתהליך גרם-שמידט: שיקופי האוסהולדר וסיבובי גיבנס. צורת הסנברג וצורה תלת-אלכסונית. פירוק QR ואלגוריתם QR.

סילבוס:

1. מבוא: פעולה של חבורה על קבוצה ופעולה מושרה על מרחב וקטורי. אלגברה מולטי-לינארית (מכפלה טנזורית של מרחבים וקטורים).
2. מושגי יסוד: הצגות, סכום ישר של הצגות, הצגות אי-פריקות והצגות פשוטות למחצה. הלמה של שור, הצגות אי פריקות של חבורה אבלית, פריקות לחלוטין, משפט משקה. דוגמאות: ההצגה הרגולרית של חבורה סופית והצגות הקשורות במרחבים הומוגניים.
3. שקילות של הצגות. מורפיזם בין הצגות. קטגוריית ההצגות תיאור בעזרת מודולים מעל חוג החבורה. פעולות בהצגות (הצגה דואלית, טנזור פנימי וחיצוני, צמצום לתת חבורה).
4. פירוק ההצגה הרגולרית של חבורה סופית. מספר ההצגות האי-פריקות. מקדמי הצגה, קרקטרים, אורתוגונליות.
5. תורת ההצגות ואנליזה הרמונית: התמרת פורייה על חבורה סופית אבלית, נוסחת עקבה לחבורות. סופיות.
6. שימושי תורת ההצגות: מספרים אלגבריים, אלגבריות של קרקטרים, משפט ההתחלקות של פרובניוס ומשפט ברנסייט על פתירות של חבורות. במידה והזמן יתיר: משפט הורוביץ על סכום ריבועים, שימושי תורת ההצגות בפיזיקה ובכימיה.
7. בניה של הצגות: הצגה מושרה והדדיות פרובניוס, קרקטר של הצגה מושרה. נוסחת מאקיי. תורת מאקיי (שיטת תת החבורה הקטנה): הצגות של מכפלות חצי ישרות. הצגות של החבורה הדיהדרלית, הצגות של חבורת הייזנברג.
8. פונקטור האינדוקציה כצמוד לצמצום. מימוש פונקטור האינדוקציה באמצעות מכפלה טנזורית. במידה והזמן יתיר: צמצום הצגות (שבירת סימטריה), זוגות גלפנד והצצה לתורת ההצגות היחסית.
9. מיון, בנייה וקרקטרים עבור ההצגות של חבורות ספציפיות: חבורת הסימטריות של גופים אפלטונים, חבורות התמורות, החבורה $SL_2$ מעל שדה סופי.
10. משפטי ארטין ובראור על הצגות מונומיאליות.

תורת המודלים היא תחום בלוגיקה מתמטית בעל השלכות ושימושים בתחומים אחרים במתמטיקה. בסמסטר הזה נתמקד בתורת המודלים של שדות דיפרנציאליים, שהיא ההקשר בו תורת המודלים תורמת לחקר משוואות דיפרנציאליות. זה כולל בין היתר תורת גלואה של משוואות דיפרנציאליות, שימושים באריתמטיקה, באלגברה לא קומוטטיבית וגם תורה קלאסית של משוואות דיפרנציאליות (למשל, משוואות Painlevé). בנוסף, התורה הזו מעניינת מאוד מבחינת כלים תורת-מודליים, ומספקת דוגמאות (ודוגמאות נגדיות) לתופעות שונות.

הרקע הנדרש הוא היכרות בסיסית עם מושגים בלוגיקה מסדר ראשון: הגדרות של נוסחה, מודל, תורה וכו‘, ומשפט הקומפקטיות. במידת הצורך, נחזור על עיקרי הדברים.

1. מערכות שומרות מידה לחבורות בורליות
2. ארגודיות, פירוק ארגודי, ערבוב וערבוב חלש
3. מינימליות וארגודיות יחידה
4. משפט ארגודי ממוצע ונקודתי לטרנספורמציה בודדת
5. (*) צימודים
6. (*) פירוק מידה ביחס לחלוקה של המרחב, מידות מותנות
7. (*) אנטרופיה
8. (*) משפטים ארגודיים לפעולות של חבורות כלליות ואמנביליות

(*) נושאים שיילמדו לפי אילוצי זמן

סילבוס אינו מוגדר בתקופה המתבקשת

סילבוס אינו מוגדר בתקופה המתבקשת

1. קוהומולוגיה: הגדרות, משפט מקדמים אוניברסלי, אוריאנטביליות, מכפלות ומבנה חוגי, נוסחת קיונת
2. חזרה על יריעות חלקות, תבניות דיפרנציאליות, משפט סטוקס, דרגה של העתקה, משפט סארד, קוהומולוגיית דה-ראם
3. משפט האיזומורפיזם בין קוהומולוגיה סינגולרית לבין קוהומולוגיית דה ראם
4. נושאים נוספים אם יישאר זמן

רשימת נושאים

1. מודולים: מודולים חופשיים, סדרות מדוייקות, מכפלה טנזורית, מודולי הום, שטיחות.
2. אידיאלים ראשוניים ולוקליזציה: חוגים מקומיים, הלמה של נאקיאמה, הספקטרום של חוג, מימד וקשירות.
3. חוגים נתריאניים: משפט הבסיס של הילברט, הלמה של ארטין-ריס, השלמה, דירוג.
4. תורת המימד: משפט האפסים של הילברט, משפט הנירמול של נתר, מעלת טרנסצנדנטיות של שדות.