17–2016–ב

• ממוצעי צ‘זרו: קונבוליציות, גרעיני סומביליות חיוביים ומשפט פייר.
• שימושים של משפט פייר: משפט הקירוב של ויירשטראס עבור פולינומים, משפט ההתפלגות במידה אחידה של וייל, בניה של פונקציה רציפה שאיננה גזירה בשום מקום (ככל שיתיר הזמן).
• התכנסות והתבדרות נקודתית ובמידה שווה של הסכומים החלקיים: גרעין דיריכלה ותכונותיו, בניה של פונקציה רציפה עם טור פורייה מתבדר, בוחן דיני.
• קירובים בנורמת המכפלה הפנימית. נוסחת פרסבל. התכנסות בהחלט של טורי פורייה של פונקציות גזירות ברציפות. ככל שיתיר הזמן, הבעיה האיזופרימטרית או שימושים שונים.
• שימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות. משוואות החום והגלים במעגל ובקטע. גרעיו פואסון ומשוואת לפלס במעגל.
• טורי פורייה של פוקציונלים לינאריים על מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות כמה פעמים. מושג הדיסטריבוציה על המעגל.
• אם יתיר הזמן, סדרות מוגדרות חיובית ומשפט הרגלוץ.
• טרנספורם פורייה על הישר: קונבולוציות, נוסחת ההיפוך, משפט פלנשרל, פונקציות הרמיט. אם יתיר הזמן, דיסטריבוציות על הישר, ושימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות.
• אנליזת פורייה על חבורות ציקליות סופיות, ואלגוריתם טרנספורם פורייה מהיר.

• שדות: עובדות בסיסיות ודוגמאות, אפיון (קרקטריסטיקה), שדות ראשוניים
• פולינומים: פריקות, מבחן איזנשטיין, למת גאוס
• הרחבות של שדות: תכונת המגדל, הרחבות אלגבריות וטרנסצנדנטיות, צרוף אבר לשדה
• בניות בסרגל ומחוגה
• סגורים אלגבריים: קיום ויחידות
• שדות פיצול
• הרחבות גלואה: אוטומורפיזמים, נורמליות, ספרביליות, שדות שבת, חבורות גלואה, המשפט היסודי של תורת גלואה
• הרחבות ציקליות
• פתרון משואות פולינומיאליות על-ידי רדיקלים: חבורת גלואה של פולינום, הדיסקרמיננטה, נוסחאת קרנדו-טרטגליאה, חבורות פתירות, משפט גלואה אודות פתירות על-ידי רדיקלים
• שרשי יחידה: הרחבות ציקלוטומיות, הפולינומים הציקלוטומיים ואי-פריקותם
• שדות סופיים: קיום ויחידות, חבורות גלואה מעל שדות סופיים, אברים פרמיטיביים

מרחבים טופולוגיים ופונקציות רציפות (מרחבי מכפלה, מרחבי מנה ומרחבים מטריים). קשירות וקומפקטיות. תנאי מניה והפרדה (הלמה של אוריסון, משפט המטריזציה של אוריסון, חלוקת קטע היחידה). משפט טיכונוף וקומפקטיפיקציית סטון-צ‘ך. משפטי מטריזציה ופרה-קומפקטיות.

• מספרים מרוכבים. פונצקיות אנליטיות, משוואות קושי-רימן.
• העתקות קונפורמיות, טרנספורמציות מוביוס.
• אינטגרציה. משפט קושי. נוסחת קושי. אפסים, קטבים, פיתוח טיילור, פיתוח לורן. חשבון השאריות.
• משפט ויירשטרס ומשפט מיטג-לפלר. פונקציות שלמות. משפחות נורמליות.
• משפט ההעתקה של רימן. פונקציות הרמוניות, בעיית דיריכלה.

1. גיאומטריה של עקומים: פרמטריזציות, אורך קשת, עקמומיות ופיתול, משואות פרנה, תכונות גלובליות של עקומים במישור.
2. גיאומטריה חיצונית של משטחים: פרמטריזציות, המישור המשיק, דיפרנציאלים, התבנית היסודית הראשונה והשנייה, עקומים על משטחים, עקמומיות גיאודזית ונורמלית.
3. משואות דיפרנציאליות ללא קוארדינטות: שדות כיוונים,שדות וקטוריים, זרימות, שדות מסגרות, ומשפט פרובניוס. נקודות שבת ונקודות סינגולריות במד“ר.
4. גיאומטריה פנימות וחיצונית של משטחים: מסגרות, נגזרות קווורינטיות, קישורים, עקמומיות גאוסית, משוואות גאוס וקודזי-מינרדי.
5. גיאומטריה של גיאודזים: ההעתקה האקספוננציאלית, גיאודזים בקוארדינוטות קטביות, תכיונת של גיאדזים, שדות יעקובי, סביבות קמורות.
6. תכונות גלובליות של משטחים: משפט גאוס-בונה ו- משפט הופף-פואנקרה

1. סקירת מבוא ודוגמאות בסיסיות. נקודות קיצון מנוונות של פונקציות. נקודות סינגולריות של עקומות.
2. פונקציות הולומורפיות ומשפט הכנה של ויירשטרס. חוג מקומי ונבט של קבוצה/פונקציה.
3. נקודת קיצון של פונקציה. דפורמציה ומורסיפיקציה. נבטים ה“מוגדרים-סופית“.
4. מיון של סינגולריות פשוטות. אינווריאנטים בסיסיים של נקודה סינגולרית. סינגולריות של עקום מישורי. פיצול לענפים ופיתוח של פיויזו.
5. לפי הזמן שיישאר ורצון של הקבוצה נתמקד באחד הנושאים הבאים: א. התרת סינגולריות של עקום מישורי; ב. אינווריאנטים טופולוגיים של סינגולריות של עקום מישורי ופיברצית מילנור; ג. דפורמציה וורסאלית ודיסקרימיננט.

הקורס יכסה רעיונות מרכזיים בשיטות מרכזיות בתורת הקבוצות הקלאסית, ללא הפיתוח אקסיומטי הדרוש להוכחת משפטי אי-תלות. הקורס מיועד לתלמידי שנים ב-ג ומטרתו להכשיר את שומעיו להשתמש במגוון העשיר של שיטות תורת קבוצתיות בענפים שונים של מתמטיקה.

סילבוס

• דיון במושג העצמה וחישוב עצמות של קבוצות שונות.
• קבוצות של מספרים ממשיים. נגזרת קנטור-בנדיקסון. המבנה של קבוצות סגורות.
• מהי השערת הרצף.
• סודרים. מהם הסודרים הניתנים לשיכון בישר. משפטי קיום של סודרים.
• רקורסיה טרנספיניטית
• אקסיומת הבחירה וניסוחיה השונים. שימושים באלגברה וגאומטריה.
• מונים כסודרים פותחים. פונקציית הקופינליות. מונים סדירים ומונים חריגים.
• נוסחת האוסדורף, הלמה של קניג. האילוצים על חשבון מונים.
• אידאלים ומסננים. על-מסננים ושימושיהם.
• מסנן הקבוצות הסגורות ולא חסומות של מונה סדיר. נורמליות. למת פודור. שימושים.
• משפטי חלוקה של מונים וסודרים. משפט רמזי. משפט ארדש-ראדו. משפט דושניק-מילר. שימושים.
• קומבינטוריקה של מונים חריגים. משפט סילבר.
• משפטי חלוקה שליליים. משפט טודורצ‘ביץ.
• נושאים נוספים.