6 במרץ—1 ביולי, 2016

קורסים

מרחבים טופולוגיים ופונקציות רציפות (מרחבי מכפלה, מרחבי מנה ומרחבים מטריים). קשירות וקומפקטיות. תנאי מניה והפרדה (הלמה של אוריסון, משפט המטריזציה של אוריסון, חלוקת קטע היחידה). משפט טיכונוף וקומפקטיפיקציית סטון-צ‘ך. משפטי מטריזציה ופרה-קומפקטיות.

  • מספרים מרוכבים. פונצקיות אנליטיות, משוואות קושי-רימן.
  • העתקות קונפורמיות, טרנספורמציות מוביוס.
  • אינטגרציה. משפט קושי. נוסחת קושי. אפסים, קטבים, פיתוח טיילור, פיתוח לורן. חשבון השאריות.
  • משפט ויירשטרס ומשפט מיטג-לפלר. פונקציות שלמות. משפחות נורמליות.
  • משפט ההעתקה של רימן. פונקציות הרמוניות, בעיית דיריכלה.
  • משפטים בסיסיים והגדרות: קבוצות קמורות, צרוף קמור, למת ההפרדה, משפט הלי, משפט רדון, משפט קרתאודורי, נקודת מרכז, משפט טברברג, גרפים מישוריים, משפט קבה, הוכחת המפריד לגרפים מישוריים של ליפטון טרג`ן באמצעות קבה.
  • גרפים גאומטריים: למת החיתוכים. שימושים לבעיות ארדס: בעיות חילה בין נקודות ועקומים, בעיית המרחקים הזהים, בעיית ספירת מרחקים שונים, למת בחירה של נק בתוך עיגולים. נק בתוך סימפלקסים. ספירת חציות של קבוצת נקודות על-ידי על-מישורים. שימוש בחילות לבעיות בתורת המספרים האדיטיבית.
  • בעיות צביעה וטרנסברסלים להיפר גרפים גאומטריים: מימד וי סי, רשתות אפסילון ורשתות אפסילון חלשות לקבוצות קמורות. צביעות חסרות קונפליקטים.
  • מערכים: סדרות דבנפורט שינצל ושימושיהן לתתי מבנים במערכים.
  • תורת רמזי גאומטרית: משפט ארדס סקרס לקבוצות קמורות. שימושים של משפט דילוורס, גרפים קווזי מישוריים.
  • חלוקה ופריקות יחידה ב-$\mathbb{Z}$.
  • מספרים ראשוניים.
  • קונגרואציה.
  • שאריות רבועיות.
  • שרשים פרמיטיביים.
  • שברים משולבים.
  • מספרים אלגבריים וקרובים דיאופנטיים
  • יסודות תורת המספרים האלגברית
  • שדות: עובדות בסיסיות ודוגמאות, אפיון (קרקטריסטיקה), שדות ראשוניים
  • פולינומים: פריקות, מבחן איזנשטיין, למת גאוס
  • הרחבות של שדות: תכונת המגדל, הרחבות אלגבריות וטרנסצנדנטיות, צרוף אבר לשדה
  • בניות בסרגל ומחוגה
  • סגורים אלגבריים: קיום ויחידות
  • שדות פיצול
  • הרחבות גלואה: אוטומורפיזמים, נורמליות, ספרביליות, שדות שבת, חבורות גלואה, המשפט היסודי של תורת גלואה
  • הרחבות ציקליות
  • פתרון משואות פולינומיאליות על-ידי רדיקלים: חבורת גלואה של פולינום, הדיסקרמיננטה, נוסחאת קרנדו-טרטגליאה, חבורות פתירות, משפט גלואה אודות פתירות על-ידי רדיקלים
  • שרשי יחידה: הרחבות ציקלוטומיות, הפולינומים הציקלוטומיים ואי-פריקותם
  • שדות סופיים: קיום ויחידות, חבורות גלואה מעל שדות סופיים, אברים פרמיטיביים
  • חבורה כסמטריה. דוגמאות: חבורות ציקליות, דיהדרלית, סמטריות. חבורות מטריצות.
  • הומומורפיזם. תת חבורות ותת חבורות נורמליות. חבורות מנה. משפט לגרנז‘. משפטי האיזומורפיזם. מכפלה ישרה של חבורות.
  • פעולה של חבורה על קבוצה. משפט קיילי.
  • אוטומורפיזמים של חבורות.
  • משפטי סילו ומיון חבורות מסדר נמוך.
  • סדרת הרכב ומשפט ז‘ורדן-הולדר. חבורות פתירות.
  • מיון חבורות חילופיות נוצרות סופית.
  • חבורה סימטרית וסידרת הרכב שלה.
  • חוגים. אידאלים ראשוניים ומקסימליים. תחום שלמות. חוג מנה. משפטי הומומורפיזם.
  • אלגברה מולטילינארית: מרחבי מנה. מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים. פעולה על חבורה סמטרית על חזקות טנזוריות. אלגברה סימטרית ואלגברה חיצונית. תבניות מולטילינאריות ודטרמיננטה.
  • נושאי רשות: חבורות סימטריות של פאונים משוכללים. חבורות חופשיות. מכפלה חצי-ישרה. תורת ההצגות של חבורות סופיות.

מבוא למושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות:

מרחבי הסתברות גבולות של מאורעות ורציפות של הסתברות הסתברות מותנה אי-תלות של מאורעות סיגמה-אלגבראות, מרחבים רציפים, ומידת לבג משתנים מקריים והתפלגויות אי-תלות התפלגויות משותפות והתפלגויות מותנות תוחלת שונות ושונות משותפת התכנסות של משתנים מקריים: כמעט-תמיד, Lp, בהסתברות חוק המספרים הגדולים התכנסות בהתפלגות משפט הגבול המרכזי

  • משפט השיקוף
  • משפט המיטוט של Mostowski
  • מוחלטות של נוסחאות
  • עולם הקבוצות הניתנות לבניה
  • כפיה
  • עקביות שלילת השערת הרצף
  • עקביות שלילת אכסיומת הבחירה
  1. אלגברה קומוטטיבית דרך קטגוריות נגזרות (חוגים רגולריים ו- CM, הדואליות המקומית של גרותנדיק, שקילות MGM, קומפלקסים דואליזנטיית קשיחים).

  2. קטגוריות נגזרות ממקור גיאומטרי (של אלומות על מרחבים). פונקטורי התמונה הישרה וההפוכה, דואליות גרותנדיק, דואליות פואנקרה-ורדייה, אלומות פרוורטיות.

  3. קטגוריות נגזרות הקשורות לחוגים לא-קומוטטיביים (כולל קומפלקסים דואליזנטיים, קומפלקסים הפיכים, ותורת מוריטה נגזרת).

  4. קטגוריות נגזרות בגיאומטריה אלגברית מודרנית ותורת המיתרים (סקירה).

בתהליכים הסתברותיים מעצם הגדרתם לא ניתן לחזות את הצעד הבא של התהליך. בכל זאת, ניתן באופן מדויק לחזות את ההתנהגות ארוכת הטווח של תהליכים מסוג מסוים. בקורס הזה נחקור תהליכים מסוג מסוים, הנקראים תהליכי מרקוב, בהם הצעד הבא של התהליך תלוי רק המיקום הנוכחי שלו. התהליכים הללו קשורים באופן עמוק לרשתות חשמליות, ולמושגים מתורת האינפורמציה כגון אנטרופיה. אנחנו נחקור את התהליכים הללו בשימוש בכלים אנליטיים, ונגדיר מושגים ונוכיח משפטים שהם אנלוגיים למשפטים באנליזה קלסית, רק למקרה הבדיד. מדובר במושגים וגישות הנמצאים בחזית המחקר העכשווי.

קורס זה הוא קורס ראשון באלגברה קומוטטיבית מודרנית, ומהוה בסיס ללימודי המשך באלגברה קומוטטיבית, אלגברה הומולוגית, גיאומטריה אלגברית וכו‘.

סילבוס

  1. חוגים, אידיאלים והומומורפיזמים
  2. מודולים, משפט קיילי-המילטון ולמת נקאימה
  3. חוגים ומודולים נתריים, משפט הבסיס של הילברט
  4. הרחבות שלמות, למת הנורמליזציה של נתר, משפט האפסים של הילברט
  5. יריעות וסכמות אפיניות
  6. לוקליזציה של חוגים ומודולים
  7. משפט הפירוק הפרימרי
  8. חוגי הערכה בדידה
  9. נושאים נבחרים ע“פ בחירת המרצה

הערות

  • קורסים המסומנים ב-(*) מהווים דרישת קדם לרישום לתאר מוסמך
  • קורסים המסומנים ב-(#) הינם קורסי חובה אפשריים למוסמך, בתחומים המתאימים, כמתואר בתכנית הלימודים למוסמך. לפחות שניים כאלה, מתחומים שונים, נדרשים לעמידה בדרישות התואר.
  • קורסים לתארים מתקדמים פתוחים גם בפני תלמידי בוגר חזקים, להם ציון ממוצע של 85 ומעלה, ואשר ניתן להם אישור של המרצים בקורם ושל ראש ועדת ההוראה
  • אנא עיינו בתכניות הלימודים המלאות לתואר בוגר ולתארים מתקדמים למידע על הדרישות והאפשרויות המלאות.