23–2022–ב

משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.

גרפים ותת גרפים, עצים, קשירות, מסלולי אוילר, מעגלים המילטוניים, זיווגים, צביעות של גרפים, גרפים מישוריים, מבוא לתורת רמזי, גרפים מכוונים, שיטות הסתברותיות ואלגבריות בתורת הגרפים.

מרחבים טופולוגיים ופונקציות רציפות (מרחבי מכפלה, מרחבי מנה ומרחבים מטריים). קשירות וקומפקטיות. תנאי מניה והפרדה (הלמה של אוריסון, משפט המטריזציה של אוריסון, חלוקת קטע היחידה). משפט טיכונוף וקומפקטיפיקציית סטון-צ‘ך. משפטי מטריזציה ופרה-קומפקטיות.

• מספרים מרוכבים. פונצקיות אנליטיות, משוואות קושי-רימן.
• העתקות קונפורמיות, טרנספורמציות מוביוס.
• אינטגרציה. משפט קושי. נוסחת קושי. אפסים, קטבים, פיתוח טיילור, פיתוח לורן. חשבון השאריות.
• משפט ויירשטרס ומשפט מיטג-לפלר. פונקציות שלמות. משפחות נורמליות.
• משפט ההעתקה של רימן. פונקציות הרמוניות, בעיית דיריכלה.

• שדות: עובדות בסיסיות ודוגמאות, אפיון (קרקטריסטיקה), שדות ראשוניים
• פולינומים: פריקות, מבחן איזנשטיין, למת גאוס
• הרחבות של שדות: תכונת המגדל, הרחבות אלגבריות וטרנסצנדנטיות, צרוף אבר לשדה
• בניות בסרגל ומחוגה
• סגורים אלגבריים: קיום ויחידות
• שדות פיצול
• הרחבות גלואה: אוטומורפיזמים, נורמליות, ספרביליות, שדות שבת, חבורות גלואה, המשפט היסודי של תורת גלואה
• הרחבות ציקליות
• פתרון משואות פולינומיאליות על-ידי רדיקלים: חבורת גלואה של פולינום, הדיסקרמיננטה, נוסחאת קרנדו-טרטגליאה, חבורות פתירות, משפט גלואה אודות פתירות על-ידי רדיקלים
• שרשי יחידה: הרחבות ציקלוטומיות, הפולינומים הציקלוטומיים ואי-פריקותם
• שדות סופיים: קיום ויחידות, חבורות גלואה מעל שדות סופיים, אברים פרמיטיביים

יריעות דיפרנציאביליות משוכנות במרחב האוקלידי עם שפה. המרחב המשיק, הנורמל, שדות וקטורים. יריעות אוריינטביליות, אוריינטציית הנורמל החיצוני. פירוקי יחידה חלקים. תבניות דיפרנציאליות על יריעות משוכנות. הנגזרת החיצונית. אינטגרציה של תבניות דיפרנציאליות ומשפט סטוקס המוכלל. ניסוחים קלאסיים של מקרים פרטיים (גרדיינט, רוטור ודיברגנץ ומשפטי גרין, סטוקס וגאוס). תבניות סגורות ומדויקות. שדות וקטוריים משמרים וקיום הפוטנציאל. שימושים למשוואות דיפרנציאליות מדויקות. מבוא לגיאומטריה דיפרנציאלית: עקמומיות של עקומים ומשטחים במרחב התלת מימדי, העתקת גאוס משפט גאוס-בונה (אם יתיר הזמן).

משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר $N$, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.

1. נושאי הכנה: ייצוג מספרים במחשב, שגיאות עיגול ויציבות. נורמות מטריצליאליות ומספר המצב של מטריצה.
2. מבוא לפתרון נומרי של משוואות דיפרנציאליות רגילות: בעיות תנאי התחלה, שיטת אוילר, מבוא לשיטות multistep, בעיות תנאי שפה.
3. שיטות נומריות לפתרון משוואות לינאריות: אלימינציית גאוס עם החלפות ציר, פירוק LU. שיטות איטרטיביות: יעקובי, גאוס-סיידל, שיטת הגרדיינט הצמוד. קירובי ריבועים פחותים.
4. שיטות נומריות למציאת ערכים עצמיים: מעגלי גרשגורין. שיטת החזקה. שיקולי יציבות בתהליך גרם-שמידט: שיקופי האוסהולדר וסיבובי גיבנס. צורת הסנברג וצורה תלת-אלכסונית. פירוק QR ואלגוריתם QR.

• שרשראות מרקוב סופיות, פרון פורבניוס.
• שרשראות אינסופיות, הילוכים מקריים על חבורות.
• נשנות-חולפות.
• מרטינגלים, זמני עצירה ומידות פגיעה.
• אנטרופיה (של שנון, ולהילוכים מקריים).

מטרת הקורס להקנות לסטודנטים יכולות התמודדות עם בעיות מתמטיות במגוון נושאים על ידי הכרות עם אסטרטגיות נפוצות לפתרון בעיות מתמטיות. הקורס דורש השתתפות פעילה של הסטודנטים במהלך השיעור וכולל עבודה קבוצתית ופרטנית כאחד. המפגשים יתנהלו כסמינר שבו בתחילה תוצג בעיה קלאסית ופתרונה. תידון האסטרטגיה לפתרון בעיות שעולה מהפתרון ואחר כך יאותגרו המשתתפים להפעיל אסטרטגיה זו בדוגמאות ספציפיות. בנוסף יידונו בעיות/חידות שניתנו כעבודת בית שבועית.

חלק מהחידות והבעיות הקלאסיות הן למעשה נקודות פתיחה לתחומים מתמטיים. נכסה מגוון של טכניקות לפתרון בעיות: ניצול זוגיות (ושיטת השמורות), הליכה מהסוף להתחלה, שובך יונים, בדיקת מקרים קיצונים, מירחוב של בעיות מישוריות, מנייה כפולה, עיקרון השיקוף בקומבינטוריקה ובגיאומטריה, שימוש בטרנספורמציות שונות בהתמודדות עם בעיות גיאומטריות מתוחכמות, שיטות של תכנון דינמי, עקרון האינדוקציה ושיטת הירידות של פרמה לטיפול במשוואות דיופנטיות. שיטת הפונקציות היוצרות. פונקציות אריתמטיות מתורת המספרים. שיקולים הסתברותיים ושימושיהם.

1. מבנים אלגבריים יסודיים: חוגים, מודולים, אלגבראות, המרכז, אימפוטנטים, חוגי חבורה.

2. חוגים עם חילוק: הקוטרניונים של המילטון, אלגבראות קוטרניונים מוכללות, אלגבראות חילוק מעל $\mathbb{F}_q$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$ (משפטי Frobenius ו-Wedderburn), אלגבראות ציקליות, משפט Brauer-Cartan-Hua.

3. פשטות ופשטות למחצה: פשטות של מבנים אלגבריים, מודולים פשוטים למחצה, חוגים פשוטים למחצה, משפט Maschke

4. תורת Wedderburn-Artin: הומומורפיזמים וסכומים ישרים, הלמה של Schur, משפט המבנה של Wedderburn-Artin, חוגים ארטיניים

5. מבוא להצגות של חבורות: הצגות ואפיינים, הצגות ותורת Wedderburn-Artin , יחסי האורתוגונליות, מימדי הצגות אי-פריקות, משפט Burnside.

6. מכפלות טנזוריות: מכפלות טנזוריות של מודולים ואלגבראות, הרחבות סקלריות, אינדקס Schur, פשטות ומרכז של מכפלות טנזוריות, חבורת Brauer, משפט Skolem-Noether, משפט הממרכז הכפול, שדות מירביים באלגבריות, נורמה ועקבה מצומצמות, מכפלות משולבות.

• משפטים בסיסיים והגדרות: קבוצות קמורות, למת ההפרדה, משפט הלי, משפט רדון, משפט קרתאודורי, נקודת מרכז, משפט טברברג, גרפים מישוריים, משפט קבה,
• גרפים גאומטריים: למת החיתוכים. שימושים לבעיות ארדס: בעיות חילה בין נקודות ועקומים, בעיית המרחקים הזהים, בעיית ספירת מרחקים שונים, למת בחירה של נק בתוך עיגולים. נק בתוך סימפלקסים. ספירת חציות של קבוצת נקודות ע“י על-מישורים. שימוש בחילות לבעיות בתורת המספרים האדיטיבית.
• בעיות צביעה וטרנסברסלים להיפר גרפים גאומטריים: מימד וי סי, רשתות אפסילון ורשתות אפסילון חלשות לקבוצות קמורות. צביעות חסרות קונפליקטים.
• מערכים: סדרות דבנפורט שינצל ושימושיהן לתתי מבנים במערכים.
• תורת רמזי גאומטרית: משפט ארדס סקרס לקבוצות קמורות. שימושים של משפט דילוורס, גרפים קווזי מישוריים.

בלאאאאא

1. חזרה על יריעות גזירות, הגדרה של חבורות לי. מנות בקטיגוריה של חבורות לי, מרחבים הומוגניים, מידת האר, רכיבי קשירות.

2. חבורות אלגבריות, חבורות מטריצות, החבורות הקלאסיות.

3. אלגבראות לי והקשר לחבורות לי.

4. חבורות לי ואלגבראות לי נילפוטנטיות, פתירות ופשוטות למחצה. משפט לי, משפט אנגל, פירוק לוי.

5. תבנית קילינג קרטן.

6. הצגות של אלגברת לי מעל המספרים המרוכבים.

7. משקלות ושורשים, מערכות שורשים, דיאגרמות דינקין, מיון של אלגבראות לי פשוטות למחצה מרוכבות.