כל הקורסים ב-2017

• חבורה כסמטריה. דוגמאות: חבורות ציקליות, דיהדרלית, סמטריות. חבורות מטריצות.
• הומומורפיזם. תת חבורות ותת חבורות נורמליות. חבורות מנה. משפט לגרנז‘. משפטי האיזומורפיזם. מכפלה ישרה של חבורות.
• פעולה של חבורה על קבוצה. משפט קיילי.
• אוטומורפיזמים של חבורות.
• משפטי סילו ומיון חבורות מסדר נמוך.
• סדרת הרכב ומשפט ז‘ורדן-הולדר. חבורות פתירות.
• מיון חבורות חילופיות נוצרות סופית.
• חבורה סימטרית וסידרת הרכב שלה.
• חוגים. אידאלים ראשוניים ומקסימליים. תחום שלמות. חוג מנה. משפטי הומומורפיזם.
• אלגברה מולטילינארית: מרחבי מנה. מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים. פעולה על חבורה סמטרית על חזקות טנזוריות. אלגברה סימטרית ואלגברה חיצונית. תבניות מולטילינאריות ודטרמיננטה.
• נושאי רשות: חבורות סימטריות של פאונים משוכללים. חבורות חופשיות. מכפלה חצי-ישרה. תורת ההצגות של חבורות סופיות.

• מושגי יסוד בטופולוגיה של מרחבים מטריים: קבוצות סגורות ופתוחות, קשירות, קומפקטיות, שלמות.
• מרחבים נורמיים ומרחבי מכפלה פנימית. כל הנורמות על $\mathbb{R}^n$ שקולות.
• משפט על קיום ויחידות של נקודת שבת להעתקת כווץ במרחב מטרי שלם.
• העתקות בין מרחבים אוקלידיים. נגזרת חלקית. גרדיאנט. כלל השרשרת. פיתוח טיילור בכמה משתנים.
• משפט ההעתקה הפתוחה ומשפט הפונקציות הסתומות. כופלי לגרנז‘. בעיות מינימום ומקסימום.
• אינטגרל רימן. קבוצות בעלות מידה אפס. תנאי האינטגרביליות של לבג. תכולה לפי ז‘ורדאן.
• משפט פוביני. היעקוביאן ונוסחת חילוף המשתנה.
• אינטרגלים מסילתיים. תבניות סגורות ומדויקות. משפט גרין.
• אם יתיר הזמן, אינטרגלים משטחיים ומשפטי סטוקס וגאוס.

משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.

סיגמא-אלגבראות, משפט הרחבת המידה ומידת לבג על הישר, מרחבי מידה כלליים, פונקציות מדידות, תורת האינטגרציה, משפטי התכנסות (משפט אגורוב, התכנסות במידה, כמעט תמיד ובנורמות $L_p$), משפט לוזין, מרחבי $L_p$, מידות במרחבי מכפלה ומשפט פוביני, מידות מסומנות ומרוכבות ופירוק האן, משפט רדון ניקודים ושימושים, גזירה, נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

מערכת אקסיומות לתחשיב הפרדיקטים. משפט השלמות ומשפט הקומפקטיות. מבוא לתורת המודלים: משפטי סקולם-לוונהים ותתי מבנים אלמנטריים. כריעות ואי-כריעות של תורות. משפט אי השלמות הראשון של גדל.

גרפים ותת גרפים, עצים, קשירות, מסלולי אוילר, מעגלים המילטוניים, זיווגים, צביעות של גרפים, גרפים מישוריים, מבוא לתורת רמזי, גרפים מכוונים, שיטות הסתברותיות ואלגבריות בתורת הגרפים.

מבוא למושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות:

מרחבי הסתברות גבולות של מאורעות ורציפות של הסתברות הסתברות מותנה אי-תלות של מאורעות סיגמה-אלגבראות, מרחבים רציפים, ומידת לבג משתנים מקריים והתפלגויות אי-תלות התפלגויות משותפות והתפלגויות מותנות תוחלת שונות ושונות משותפת התכנסות של משתנים מקריים: כמעט-תמיד, Lp, בהסתברות חוק המספרים הגדולים התכנסות בהתפלגות משפט הגבול המרכזי

• חלוקה ופריקות יחידה ב-$\mathbb{Z}$.
• מספרים ראשוניים.
• קונגרואציה.
• שאריות רבועיות.
• שרשים פרמיטיביים.
• שברים משולבים.
• מספרים אלגבריים וקרובים דיאופנטיים
• יסודות תורת המספרים האלגברית

• ממוצעי צ‘זרו: קונבוליציות, גרעיני סומביליות חיוביים ומשפט פייר.
• שימושים של משפט פייר: משפט הקירוב של ויירשטראס עבור פולינומים, משפט ההתפלגות במידה אחידה של וייל, בניה של פונקציה רציפה שאיננה גזירה בשום מקום (ככל שיתיר הזמן).
• התכנסות והתבדרות נקודתית ובמידה שווה של הסכומים החלקיים: גרעין דיריכלה ותכונותיו, בניה של פונקציה רציפה עם טור פורייה מתבדר, בוחן דיני.
• קירובים בנורמת המכפלה הפנימית. נוסחת פרסבל. התכנסות בהחלט של טורי פורייה של פונקציות גזירות ברציפות. ככל שיתיר הזמן, הבעיה האיזופרימטרית או שימושים שונים.
• שימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות. משוואות החום והגלים במעגל ובקטע. גרעיו פואסון ומשוואת לפלס במעגל.
• טורי פורייה של פוקציונלים לינאריים על מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות כמה פעמים. מושג הדיסטריבוציה על המעגל.
• אם יתיר הזמן, סדרות מוגדרות חיובית ומשפט הרגלוץ.
• טרנספורם פורייה על הישר: קונבולוציות, נוסחת ההיפוך, משפט פלנשרל, פונקציות הרמיט. אם יתיר הזמן, דיסטריבוציות על הישר, ושימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות.
• אנליזת פורייה על חבורות ציקליות סופיות, ואלגוריתם טרנספורם פורייה מהיר.

• שדות: עובדות בסיסיות ודוגמאות, אפיון (קרקטריסטיקה), שדות ראשוניים
• פולינומים: פריקות, מבחן איזנשטיין, למת גאוס
• הרחבות של שדות: תכונת המגדל, הרחבות אלגבריות וטרנסצנדנטיות, צרוף אבר לשדה
• בניות בסרגל ומחוגה
• סגורים אלגבריים: קיום ויחידות
• שדות פיצול
• הרחבות גלואה: אוטומורפיזמים, נורמליות, ספרביליות, שדות שבת, חבורות גלואה, המשפט היסודי של תורת גלואה
• הרחבות ציקליות
• פתרון משואות פולינומיאליות על-ידי רדיקלים: חבורת גלואה של פולינום, הדיסקרמיננטה, נוסחאת קרנדו-טרטגליאה, חבורות פתירות, משפט גלואה אודות פתירות על-ידי רדיקלים
• שרשי יחידה: הרחבות ציקלוטומיות, הפולינומים הציקלוטומיים ואי-פריקותם
• שדות סופיים: קיום ויחידות, חבורות גלואה מעל שדות סופיים, אברים פרמיטיביים

מרחבים טופולוגיים ופונקציות רציפות (מרחבי מכפלה, מרחבי מנה ומרחבים מטריים). קשירות וקומפקטיות. תנאי מניה והפרדה (הלמה של אוריסון, משפט המטריזציה של אוריסון, חלוקת קטע היחידה). משפט טיכונוף וקומפקטיפיקציית סטון-צ‘ך. משפטי מטריזציה ופרה-קומפקטיות.

• מספרים מרוכבים. פונצקיות אנליטיות, משוואות קושי-רימן.
• העתקות קונפורמיות, טרנספורמציות מוביוס.
• אינטגרציה. משפט קושי. נוסחת קושי. אפסים, קטבים, פיתוח טיילור, פיתוח לורן. חשבון השאריות.
• משפט ויירשטרס ומשפט מיטג-לפלר. פונקציות שלמות. משפחות נורמליות.
• משפט ההעתקה של רימן. פונקציות הרמוניות, בעיית דיריכלה.

1. גיאומטריה של עקומים: פרמטריזציות, אורך קשת, עקמומיות ופיתול, משואות פרנה, תכונות גלובליות של עקומים במישור.
2. גיאומטריה חיצונית של משטחים: פרמטריזציות, המישור המשיק, דיפרנציאלים, התבנית היסודית הראשונה והשנייה, עקומים על משטחים, עקמומיות גיאודזית ונורמלית.
3. משואות דיפרנציאליות ללא קוארדינטות: שדות כיוונים,שדות וקטוריים, זרימות, שדות מסגרות, ומשפט פרובניוס. נקודות שבת ונקודות סינגולריות במד“ר.
4. גיאומטריה פנימות וחיצונית של משטחים: מסגרות, נגזרות קווורינטיות, קישורים, עקמומיות גאוסית, משוואות גאוס וקודזי-מינרדי.
5. גיאומטריה של גיאודזים: ההעתקה האקספוננציאלית, גיאודזים בקוארדינוטות קטביות, תכיונת של גיאדזים, שדות יעקובי, סביבות קמורות.
6. תכונות גלובליות של משטחים: משפט גאוס-בונה ו- משפט הופף-פואנקרה

1. סקירת מבוא ודוגמאות בסיסיות. נקודות קיצון מנוונות של פונקציות. נקודות סינגולריות של עקומות.
2. פונקציות הולומורפיות ומשפט הכנה של ויירשטרס. חוג מקומי ונבט של קבוצה/פונקציה.
3. נקודת קיצון של פונקציה. דפורמציה ומורסיפיקציה. נבטים ה“מוגדרים-סופית“.
4. מיון של סינגולריות פשוטות. אינווריאנטים בסיסיים של נקודה סינגולרית. סינגולריות של עקום מישורי. פיצול לענפים ופיתוח של פיויזו.
5. לפי הזמן שיישאר ורצון של הקבוצה נתמקד באחד הנושאים הבאים: א. התרת סינגולריות של עקום מישורי; ב. אינווריאנטים טופולוגיים של סינגולריות של עקום מישורי ופיברצית מילנור; ג. דפורמציה וורסאלית ודיסקרימיננט.

הקורס יכסה רעיונות מרכזיים בשיטות מרכזיות בתורת הקבוצות הקלאסית, ללא הפיתוח אקסיומטי הדרוש להוכחת משפטי אי-תלות. הקורס מיועד לתלמידי שנים ב-ג ומטרתו להכשיר את שומעיו להשתמש במגוון העשיר של שיטות תורת קבוצתיות בענפים שונים של מתמטיקה.

סילבוס

• דיון במושג העצמה וחישוב עצמות של קבוצות שונות.
• קבוצות של מספרים ממשיים. נגזרת קנטור-בנדיקסון. המבנה של קבוצות סגורות.
• מהי השערת הרצף.
• סודרים. מהם הסודרים הניתנים לשיכון בישר. משפטי קיום של סודרים.
• רקורסיה טרנספיניטית
• אקסיומת הבחירה וניסוחיה השונים. שימושים באלגברה וגאומטריה.
• מונים כסודרים פותחים. פונקציית הקופינליות. מונים סדירים ומונים חריגים.
• נוסחת האוסדורף, הלמה של קניג. האילוצים על חשבון מונים.
• אידאלים ומסננים. על-מסננים ושימושיהם.
• מסנן הקבוצות הסגורות ולא חסומות של מונה סדיר. נורמליות. למת פודור. שימושים.
• משפטי חלוקה של מונים וסודרים. משפט רמזי. משפט ארדש-ראדו. משפט דושניק-מילר. שימושים.
• קומבינטוריקה של מונים חריגים. משפט סילבר.
• משפטי חלוקה שליליים. משפט טודורצ‘ביץ.
• נושאים נוספים.