אשנב למתמטיקה Ical Atom רשימת תפוצה

בהרצאה נדון בבעיה השלישית של הילברט. בעיה זו, יחד עם עוד 22 בעיות, הוצגה ע“י דוד הילברט בקונגרס הבינלאומי השני שהתקיים בפריס בשנת 1900. הבעיות של הילברט עיצבו במידה רבה את התפתחות המתמטיקה במאה ה- 20. חלקן נפתרו וחלקן פתוחות עד היום. מבין כל הבעיות, הבעיה השלישית נפתרה ראשונה, תוך שנה אחת בלבד, ע“י תלמידו של הילברט - מקס דן.

ההרצאה תתחיל ממבוא, בו נלמד רעיונות בסיסיים הנחוצים לפתרון הבעיה השלישית. לאחר מכן נדון בגרסה הדו-מימדית של הבעיה (משפט בויאי-גרווין-וולאס), נבנה את שמורת דן, ונראה את הפתרון של הבעיה השלישית של הילברט. ננעל את ההרצאה בדיון בזק במכפלות טנזוריות של מרחבים וקטוריים והקשר בינן לבין הבעיה השלישית. רוב ההרצאה מתאימה גם לתלמידי שנה א‘.

נסתכל על חבורה קומפקטית $G$. דוגמה טובה היא חבורת כל ההעתקות האורתוגונליות במרחב:

\[G=SO(3)=\{U\in M_{3\times 3}(\mathbb{R})|UU^t=I\}\]

בהנתן שני איברים $a,b\in G$, נדון בשאלה: האם אפשר למצוא סדרה של ביטויים ב-$a,b$ שבהכרח מתכנסת ליחידה (בלי תלות בבחירה של $a,b$).

בעיה 1.

אם נערבב חלב (לבן) בתוך קפה (חום), נתחיל ממצב בו החלב והקפה מופרדים לחלוטין, ונסיים במצב בו החלקיקים התערבבו כל כך שהנוזל מקבל צבע ביניים של חום בהיר. אם נקרין סרטון של קפה מתערבב לאחור, כל ילד יכול בודאי לזהות שהסרטון נע בכיוון ההפוך לזמן, כי הנוזל מתחיל מעורבב ומסיים מופרד לשני צבעים.

מאידך, אם נביט במיקרוסקופ על החלקיקים המתערבבים, יהיה לנו קשה להבדיל בין סרטון שנע קדימה או לאחור בזמן. פשוט נראה חלקיקים חומים ולבנים מתנגשים אחד בשני בכל מיני כיוונים ומהירויות.

התופעה הראשונה (המאקרוסקופית) היא החוויה האנושית הפשוטה של זמן שנע בכיוון ברור. מה שנקרא ״חץ הזמן״. התופעה השניה (המיקרוסקופית) היא התופעה שלמשוואות של הפיסיקה לא אכפת מהכיוון של הזמן, מה שנקרא ״רברסביליות של זמן״.

איך יכול להיות שבמאקרו יש כיוון שלא מופיע כלל במיקרו, או בתיאור הפיסיקלי הבסיסי ?

בעיה 2.

אנו רוצים לבנות מערכת המעודדת מדענים לתת תחזיות מדויקות על העולם. מהי הדרך הנכונה לבנות תגמול כך שיהיה למדענים אינטרס לספק את חוק הטבע המדויק ביותר?

ומה הקשר בין שתי הבעיות הנ״ל?

כל יריעה חלקה ”נראית מקומית כמו $\mathbb{R}^n$“. במקרה זה גאומטריה, טופולוגיה, ואלגברה מקומיות כולן טריויאליות.
אבל לא הכל חלק בעולם שלנו, למשל העקומים הנתונים על-ידי המשוואות ${xy=0}$ או ${y^2=x^3}$.

כל נקודה סינגולרית כוללת בתוכה:

• חוגים, אידאלים, מודולים;
• הומולוגיות והומוטופיות;
• מרחבי מיון, וכו.

אני אציג מבוא ”נגיש“ לתחום זה.

בשנת 1706, ג‘ון מייצ‘ין (Machin) הגיע לנוסחה המבטאת את פאי כסכום של שני גורמי ארקטנגנס, ובעזרתה הגיע לקירוב של פאי הנכון ל100 ספרות עשרוניות. בשנים שחלפו, מתמטיקאים מצאו נוסחאות דומות עם יותר גורמים. נוסחאות אלו נקראות נוסחאות כמו-מייצ‘ין (Machin-like). באשנב זה נראה כיצד מגיעים לנוסחאות אלו, בודקים את יעילותם, וכמה נוסחאות כאלו יש בכלל. אשנב זה מבוסס על פרויקט שעבדתי עליו במשך הקיץ,

מטילים קוביה שוב ושוב עד שיוצא הרצף ”המנצח“.

שאלה 1: האם ”עדיף“ לחכות לרצף של 6 הטלות קוביה על 6 או לרצף עולה של הטלות מ-1 עד 6?

שאלה 2: נגיד שנתון לנו שהרצף המנצח הופיע ממש עכשיו, אז כמה זמן בממוצע נצטרך לחכות עד להופעה הבאה של הרצף המנצח?

באשנב נדון בשאלות במשפחה של שאלות מסוג זה, נבחן את האינטואציה מול העובדות המתמטיות, ואת ההבדל המהותי בין שתי השאלות. ברקע יעמדו מושגים מתמטיים חשובים מהסתברות ותורה ארגודית: Martingale, ergodicity