אשנב למתמטיקה Ical Atom רשימת תפוצה

בשנת 1706, ג‘ון מייצ‘ין (Machin) הגיע לנוסחה המבטאת את פאי כסכום של שני גורמי ארקטנגנס, ובעזרתה הגיע לקירוב של פאי הנכון ל100 ספרות עשרוניות. בשנים שחלפו, מתמטיקאים מצאו נוסחאות דומות עם יותר גורמים. נוסחאות אלו נקראות נוסחאות כמו-מייצ‘ין (Machin-like). באשנב זה נראה כיצד מגיעים לנוסחאות אלו, בודקים את יעילותם, וכמה נוסחאות כאלו יש בכלל. אשנב זה מבוסס על פרויקט שעבדתי עליו במשך הקיץ,

מטילים קוביה שוב ושוב עד שיוצא הרצף ”המנצח“.

שאלה 1: האם ”עדיף“ לחכות לרצף של 6 הטלות קוביה על 6 או לרצף עולה של הטלות מ-1 עד 6?

שאלה 2: נגיד שנתון לנו שהרצף המנצח הופיע ממש עכשיו, אז כמה זמן בממוצע נצטרך לחכות עד להופעה הבאה של הרצף המנצח?

באשנב נדון בשאלות במשפחה של שאלות מסוג זה, נבחן את האינטואציה מול העובדות המתמטיות, ואת ההבדל המהותי בין שתי השאלות. ברקע יעמדו מושגים מתמטיים חשובים מהסתברות ותורה ארגודית: Martingale, ergodicity

נסתכל על חבורה קומפקטית $G$. דוגמה טובה היא חבורת כל ההעתקות האורתוגונליות במרחב:

\[G=SO(3)=\{U\in M_{3\times 3}(\mathbb{R})|UU^t=I\}\]

בהנתן שני איברים $a,b\in G$, נדון בשאלה: האם אפשר למצוא סדרה של ביטויים ב-$a,b$ שבהכרח מתכנסת ליחידה (בלי תלות בבחירה של $a,b$).