אשנב למתמטיקה Ical Atom רשימת תפוצה

פונקציות זיתא מופיעות במקומות רבים במתמטיקה. נתמקד בהרצאה זו במקרה אחד שהוא יחסית קל להבנה. פונקציית הזיתא של איהרה שסופרת מעגלים סגורים בגרף נתון. ננסה להבין מהי המשמעות הגיאומטרית לגבי הגרף לכך שפונקציית הזיתא שלו מקיימת את השערת רימן המתאימה.

ב-1911, Brouwer הוכיח (כמסקנה ממשפט נקודת השבת שלו) שמרחבים אוקלידיים מממדים שונים אינם הומאומורפיים. תוצאה זו הובילה למושג של ממד טופולוגי שהוא מספר טבעי שמוגדר לכל מרחב מטרי. נציג גישות שונות להגדרת ממד טופולוגי ותוצאות קלאסיות בתורת הממד.

מציאת פתרונות שלמים למשוואות פולינומיאליות, כמו למשל x² + y² = z³, הוא תחום רחב המעסיק מתמטיקאים מימי היוונים הקדומים ועד ימינו. בפרט, שאלות ”תמימות“ וקלות לניסוח עלולות להתברר כקשות ועמידות לפיתרון. בהרצאה נתמקד בהערכת מספר הפתרונות השלמים האפשריים למשוואה פולינומיאלית, ונציג רעיון אלגברי מפתיע, המאפשר לגשת לשאלה זו על ידי שימוש מחוכם באלגברה ליניארית (והערכת דטרמיננטה מתאימה). ההרצאה אינה דורשת ידע קודם בתורת המספרים.

בהרצאה נעסוק במרחבי הילברט של פונקציות בעלי גרעין משחזר. נבנה את יסודות התיאוריה ונבחן את הדוגמה המרכזית – מרחב הארדי על הדיסק. באמצעות הכלים שנפתח, ובמעט אלגברה לינארית, נראה כיצד ניתן לשחזר באופן אלגנטי שני משפטים מרכזיים באנליזה מרוכבת. אם יתיר הזמן, נדון גם בכמה שאלות יפות שפתרונן נשען על רעיונות מתוך התיאוריה. ההרצאה מתאימה לסטודנטים משנה ב׳ ומעלה.

כל יריעה חלקה ”נראית מקומית כמו $\mathbb{R}^N$“. במקרה זה גאומטריה, טופולוגיה, ואלגברה הן כולן מקומית טריויאליות. אבל לא הכל חלק בעולם שלנו, למשל העקומים הנתונים על-ידי המשוואות $xy=0$ או $y^2=x^d$.

כל נקודה סינגולרית כוללת בתוכה:

• חוגים, אידאלים, מודולים;
• חבורה יסודית, הומולוגיות הומוטופיות;
• מרחבי ”מודולים“

וכו.

אני אציג מבוא נגיש לתחום זה.

בתיאוריה של קשיחות של גרפים, מסתכלים על מבנים שמורכבים מנקודות וממוטות שמחברים ביניהן, ושואלים מתי מבנה כזה הוא קשיח, כלומר לא יכול להתעוות או ״להתקמט״ בלי לשבור את המוטות. בהרצאה אציג את המושג של גרף קשיח, נדבר על תכונות של גרפים כאלה ונדון בשאלה כיצד ניתן לקבוע אם גרף נתון הוא קשיח או לא.