אשנב למתמטיקה Ical Atom רשימת תפוצה

בהרצאה נדבר על הצגות של חבורות (ולא רק חבורות). תורת ההצגות היא המשך טבעי למושג ”פעולה של חבורה על קבוצה“, והוא בא לבטא את הקשר בין חבורות לבין סימטריות של אובייקטים שונים.

לפרק מספר ממש גדול לגורמים ראשוניים זה קל. כל מה שצריך זה קצת זמן, קצת סבלנות, ומחשב קוונטי.

בשנת 1994 פיטר שור הראה איך אפשר לפרק מספרים לגורמים ראשוניים בזמן פולינומיאלי בעזרת מחשב קוונטי ובכך קידם את המעמד של המחשבים הקוונטיים מקוריוז משעשע למוקד מחקר ענף.

בהרצאה נסביר (מתמטית) מה הוא מחשב קוונטי, מה הוא יכול ולא יכול לעשות, ואיך נשתמש במחשב כזה בשביל לפרק מספרים לגורמים ראשוניים. אם הזמן יתיר, נדון בחשיבות התאורטית של התוצאה הזאת וקצת בתחום באופן כללי

מה צריך בשביל לבנות את המספרים הממשיים? גבולות? לא בהכרח. בהרצאה נבנה ביחד את המספרים הממשיים. נא להביא אתכם את המספרים השלמים ואת פעולת החיבור עליהם.

אחת מן הבעיות המסתוריות ביותר בתורת הגרפים היא בעיית המותן. בגרף d רגולרי בעל n קדקודים כמה גדול יכול להיות המותן? כלומר אורך המעגל הקצר ביותר. בניגוד לבעיות רבות אחרות בתורת הגרפים בניה מפורשת נותנת תוצאות טובות הרבה יותר מבניה מקרית. הגרפים האמורים נבנו על ידי Lubotzky, Phillips, Sarnak בשנות השמונים והם מצטיינים גם בכך שהם גרפים מרחיבים מאוד טובים. (גרפי רמנוז‘ן).

ההרצאה תעסוק בריצופים של מרחבים אוקלידיים, בעיקר של המישור. נבין מהו ריצוף, נדבר מעט על תכונות של ריצופים, ונראה הרבה תמונות ודוגמאות. נתמקד בעיקר בסוג מסוים של בניות של ריצופים, שנקרא ריצופי הצבה (substitution tilings). ריצופים אלה יראו לרב אותו הדבר באופן מקומי, אך למרות זאת לא הם אינם מחזוריים. אם הזמן יאפשר, נדבר על כיצד מוכיחים שריצוף שכזה הוא איננו מחזורי (כלומר שלא קיימת אף הזזה של הריצוף ששמה אותו בדיוק על עצמו), ועל סוגים שונים של שאלות שנחקרות בתחום. ההרצאה לא דורשת יידע מוקדם מעבר לדברים בסיסיים שנלמדים בשנה א‘.

בהרצאה נדבר על פתרון משוואות (מהבבלים ועד ימינו) ובמיוחד נתמקד במשפט של אבל-רופיני ובמתמטיקה שהוא יצר. ההרצאה תכלול את ההוכחה של Arnold למשפט Abel.

השאלה בכותרת היא שאלה עתיקה שאין לה תשובה פשוטה. משפט מסתורי של ארדש והיינל משנות החמישים מבטיח שבכל גרף בעל מספר כרומטי לא בן-מניה חייבים להימצא תת-גרפים דו-צדדיים גדולים. הדבר מוזר, כי לגרפים דו-צדדיים יש מספר כרומטי 2. נדון בהסבר למסתורין, המערב מספרים גדולים יותר מהמספר הכרומטי, נציג חלק מהקשרים בין המספרים האלה וגם נציג את השיטה שארדש והיינל השתמשו בה וניגע בגרסאות יותר מודרניות שלה שמשתמשות באריתמטיקה אינסופית חדשה יחסית.

גרפים מרחיבים הם בעלי שימושים רבים במתמטיקה ובמדעי המחשב. בשנים האחרונות התחיל להתפתח תחום מחקר חדש שמנסה להכליל את הרעיון של גרף מרחיב לאובייקטים מממדים גבוהים יותר. ההרצאה תסקור חלק קטן מההתפתחות בתחום בשנים האחרונות