אשנב למתמטיקה Ical Atom רשימת תפוצה

קרה לכם שהסתכלתם על נוסחה ואמרתם לעצמכם - חבל שאין לה הסבר בעל פה? אציג סיפורים קומבינטוריים וגיאומטריים מאחורי כמה זהויות בינומיות.

הפרדוקס של בנך-טרסקי הוא מהמשפטים המפורסמים והמוזרים ביותר במתמטיקה. על אף שהוא נוגד לחלוטין את האינטואיציה, הניסוח שלו פשוט מספיק כדי שתוכלו לספר עליו לחברים בבר או למשפחה בארוחת שישי: הוא קובע שניתן לחלק כדור למספר סופי של חלקים, ולאחר סדרה של סיבובים, הזזות והרכבה מחדש – לקבל שני כדורים שלמים וזהים לכדור המקורי! בהרצאה נצלול אל המושגים המתמטיים שעליהם מתבסס הפרדוקס.

אם תשאלו כל עובר אורח ברחוב למה הפרדוקס הזה נכון, הוא מיד יגיד לכם שזה נובע מחוסר האמנביליות של החבורה $SO(3)$ (אל דאגה, נסביר בהרצאה מי זו החבורה הזו ומהי אמנביליות). אם לא תסתפקו בתשובה הזו ותשאלו את עצמכם ”אבל למה החבורה הזו אינה אמנבילית?“, התשובה תהיה: מכיוון שהיא מכילה תת-חבורה חופשית (גם זה מושג שיוסבר). ואם נפשכם עדיין לא תדע מנוח ותרצו לדעת למה החבורה הזו מכילה תת-חבורה חופשית? התשובה המפתיעה היא - פינג-פונג!

בהרצאה נעשה סדר בבלאגן, נוכיח ונענה על כל השאלות האלו, ואולי אפילו נספיק להוכיח את פרדוקס האוסדורף שמהווה את אבן הפינה של בנך-טרסקי.

• הערה: לא נדרש ידע מוקדם בתורת החבורות או בפינג-פונג.
• אזהרת טריגר: במהלך ההרצאה ייעשה שימוש באקסיומת הבחירה.

לפני כשלושים שנה ניסחו זאב רודניק ופיטר סרנק את השערת הארגודיות היחידה הקוונטית. הפרשנות הפיסיקלית של ההשערה היא שחלקיק קוונטי חפשי על יריעה סגורה מעקמומיות שלילית, נוטה להימצא בהסתברות שווה בכל תחום ביריעה, כאשר האנרגיה גבוהה. באופן מעניין, רודניק וסרנק שיערו זאת למרות סימולציות שרמזו דווקא על תופעות בכיוון ההפוך. מה שהוביל אותם לכך, היה מודל מסוים של הבעיה, שנחקר לעומק בהקשר אחר לגמרי, של תורת המספרים.

זמן קצר לאחר מכן, הוכיח סטודנט הדוקטורט של סרנק את ההשערה במודל הזה, בהנתן השערת רימן המוכללת. כעבור כעשר שנים, פתר אילון לינדנשטראוס את המקרה הזה ללא הנחות נוספות, על ידי טכניקות שפיתח בדינמיקה הומוגנית. ההשערה ופתרונו של לינדנשטראוס עוררו עניין רב במגוון תחומים ובהם פיסיקה מתמטית, אנליזה, תורת המספרים, תורה ארגודית ותורת הגרפים הספקטרלית. התוצאות של לינדנשטראוס בדינמיקה הומוגנית ממשיכות להוות השראה למחקר נרחב, עם השלכות מרחיקות לכת בתורת המספרים. בהרצאה נדון בהשערה של רודניק וסרנק ובעבודתו של לינדנשטראוס.

אין צורך בידע מקדים מעבר לקורסים הבסיסיים של תואר ראשון במתמטיקה.