בהרצאה נסביר מהו סכום מניקובסקי של תתי-קבוצות של חבורה, משפט מפורסם של Shapley–Folkman לגבי סכומי מינקובסקי וקמירות, ושימוש לגבי משפחה של מודלים (לא ממש מציאותיים) של התפשטות של מגפות.
נאמר שחבורה היא ״ניתנת לסידור משמאל״ אם קיים על החבורה יחס סדר שנשמר על ידי פעולת כפל משמאל. כלומר אם $a< b$ אז גם $ga< gb$ לכל שלושה איברים בחבורה. ישנן כמובן חבורות כמו החבורה החיבורית של הממשיים שעליהן יש סדר טבעי. ישנן חבורות אחרות שלא מגיעות עם סדר טבעי אך בכל זאת ניתן למצוא עליהן סדר. כזו למשל היא החבורה החופשית $F_n$ על $n$ יוצרים. מצד שני החבורה $SL(3,\mathbb{Z})$ של מטריצות שלמות בעלות דטרמיננטה $1$ לא ניתנת לסידור בכלל.
באשנב נדבר על מאמר של Walter Rudin, בו הוא מציע הוכחה קצרה למשפט אקס: העתקה פולינומיאלית חח״ע מהמרוכבים בחזקת $n$ למרוכבים בחזקת $n$ היא על. נציג הוכחה המבוססת על משפט הקומפקטיות מלוגיקה ושלמות של מערכות אקסיומות. תוכלו להחליט בסוף האשנב איזו משתי ההוכחות קצרה יותר, או לא להחליט.
הסיפור של השלשות הפיתגוריות הוא עתיק, כפי ששמן מרמז. מדובר בשלשות של מספרים שלמים חיוביים, שהן אורכי הצלעות במשולש ישר זוית, ולכן מקיימות משוואה ריבועית (לפי משפט פיתגורס).
בהרצאה זו נציג שיטה לחישוב כל השלשות הפיתגוריות. כפי שהכותרת רומזת, אנו נשתמש במספרים מרוכבים, בתורת החבורות האבליות, ובתכונות של המספרים הראשוניים.
התוצאה העיקרית שתוצג בהרצאה הינה איפיון מדוייק של כל השלשות הפיתגוריות המצומצמות המסודרות. איפיון זה הוא קונסטרוקטיבי: בעזרתו אפשר לחשב בקלות את כל השלשות הפיתגוריות המצומצמות המסודרות בעלות יתר נתון.
אם הזמן יספיק, אתן הוכחות למשפטים הללו. ההוכחות דורשות ידע מסויים בתורת המספרים, ואני אתן הפניות למקורות.
תוכן ההרצאה אמור להיות מובן לתלמידי תואר ראשון. ניתן לעיין כבר עכשיו בשקפים של ההרצאה
גדולי המתמטיקאים בכל הזמנים חששו – ובצדק – מעיסוק ריגורוזי במושג האינסוף. גלילאו נרתע ממושג האינסוף כשהבין שהעתקת השורש מעתיקה את קבוצת הריבועים השלמים הדלילה על הטבעים (ומה היה אומר אילו ידע להעתיק את הרציונלים על הטבעיים?). ניוטון טעה בחישוביו עם אינפיניטיסימלים (ואנחנו נשארנו עם נוסחת לייבניץ‘). ואפילו גאוס השתדל להמנע מהתעסקות עם האינסוף.
בהרצאה נראה איך כל עיסוק רציני במושג האינסוף מוביל לתופעות מפתיעות ומשונות. נסקור תוצאות מפיעות של אקסיומות הבחירה (ונלמד איך לאכול את העוגה ולהשאיר אותה שלמה), ושל שלילתה (נראה איך אפשר למלא בעזרת רצף יונים יותר מרצף
שובכים). עוד נסקור שאלות – לכאורה מתחום האנליזה – שתלויות בגודל הרצף.