נציג את המושג של הילוך מקרי, ונספר על חלק מהתוצאות הקשורות למושג זה.
נקודת ההתחלה שלנו היא משפט של Polya שמוכיח שאדם שיכור יחזור מתישהו לביתו, אבל טייס חללית שיכור יעלם לנצח בהסתברות סבירה. בהתאם לזמן, נתאר את הקשרים לרשתות חשמליות ואולי גם לתורת חבורות גיאומטרית.
בחבורות טופולוגיות רבות מתגלה תופעה מפתיעה: יש מחלקת צמידות אחת הרבה יותר גדולה מכל השאר (למשל במובן משפט הקטגוריה של בייר). נראה שלתופעה זו יש מסקנות אלגבריות חזקות ומפתיעות.
פעמים רבות במתמטיקה אנו נתקלים בבעיות פשוטות לניסוח וקשות לפתרון. בהרבה מקרים הקושי נובע ממחסור בכלים מתמטיים, ועל-מנת לגשת לבעיות בסיסיות כאלה עלינו לפתח תורה מתמטית כללית. בהרצאה זו נציג מספר בעיות בסיסיות כאלה בגיאומטריה של המישור וננסה להבין כיצד ניתן לגשת לחלק מהבעיות הללו באמצעות חקר של משטחים, כלומר יריעות דו-מימדיות קומפקטיות.
הנושא של יריעות הוא אולי מעט מתקדם ולא נציג בהרצאה זו הגדרות והוכחות מורכבות שמסתמכות על כלים מתקדמים. מצד שני, נראה הרבה תמונות וננסה להבין באמצעות דוגמאות את האובייקטים ואת הקשר ביניהם ובין השאלות הבסיסיות שנראה.
כשלייבניץ פיתח את האנליזה, הוא ניסח את התורה שלו באמצעות ”גדלים אינפינטסימליים“, שמשקפים היטב את האינטואיציה מאחורי מושגים כמו רציפות, גזירות ואינטגרציה, אולם הוא וממשיכיו לא הצליחו להגדיר אובייקטים כאלה בצורה מספיק מדויקת, ולכן הגישה הזאת נזנחה, לטובת ההגדרות המוכרות לנו כיום. בהרצאה אשתדל להסביר איך אפשר בכל זאת להעמיד את הגישה של לייבניץ על בסיס מדויק, וגם איך אפשר לחלק פך שמן אחד (או מגש פיצה) למספר גדול מאד של חלקים, כל זאת באמצעות שימוש מושכל בכלים של לוגיקה מסדר ראשון (אותם נסביר תוך כדי ההרצאה)
נציג את מושג הצביעה הקלאסית של גרף פשוט ונכליל אותו להיפרגרף (כלומר לקבוצה של קודקודים ואוסף כלשהו של תת-קבוצות שלה). ישנן כמה הכללות אפשריות, אנחנו נתמקד בהכללה הבאה: נאמר שצביעה של הקודקודים היא חסרת קונפליקטים אם בכל אחת מקבוצות האוסף יש לפחות קודקוד אחד עם צבע שלא ניתן לאף קודקוד אחר בקבוצה.
נראה את הקשר בין המושג הזה לבעיות של השמות תדרים באנטנות סלולריות.
כל ילד.ה בגן חובה, או לפחות כל סטודנט.ית שסיימ.ה את החודש הראשון של אינפי 1, יודע.ת כי כל מספר ממשי אי-שלילי הינו ריבוע של מספר ממשי. אם במקום מספרים ממשיים אי-שליליים מסתכלים על פולינומים עם מקדמים ממשיים שכל ערכיהם אי-שליליים, ברור שלא כל פולינום שכזה הוא ריבוע של פולינום עם מקדמים ממשיים. הרי קצת קשה למצוא פולינום שהריבוע שלו יהיה שווה ל- $x^2+4$. אבל לא קשה להראות בעזרת המשפט היסודי של האלגברה כי כל פולינום עם מקדמים ממשיים שכל ערכיו אי-שליליים ניתן לכתוב כסכום של ריבועים של פולינומים עם מקדמים ממשיים.
מה קורה עבור פולינומים בכמה משתנים? ועבור פונקציות רציונליות? שאלות מתימטיות טבעיות אלה העסיקו את מורינו ורבינו דוד הילברט בשלהי המאה ה-19. בהרצאה זו נדבר על התוצאות של הילברט ועל בעיה מס‘ 17 ברשימת הבעיות אשר הוא הציג לקונגרס המתימטי הבינלאומי בפריס ב-1900, וגם על גלגולים של הנושא הזה בעשורים האחרונים, כולל — ככל שיותיר הזמן — תכנון כנף של אחד ממטוסי האיירבוס ותוצאה מרתקת אחת מהקיץ האחרון.
