אשנב למתמטיקה Ical Atom רשימת תפוצה

ניתן להגדיר חבורות p-סילוב בכל חבורה שהיא. בדרך כלל משפטי סילוב המוכרים מעולם החבורות הסופיות לא פועלים. עם זאת משפט מקסים של עסאר (Asar) מראה שבכל זאת ניתן להציל משהו מתורת סילוב במקרים מסוימים.

לפירות שמקיימים את המשוואה בתמונה יש לפחות 80 ספרות. נראה איך ניתן למצוא אותם - באמצעות פונקציות מרוכבות על מרחב כל השריגים, וגיאומטריה של עקומים מעוקבים.

טרנספורם רדון הוא כלי מתמטי בעל חשיבות רבה ברפואה ובהנדסה. נציג את הטרנספורם ואת המתמטיקה מאחורי נוסחת ההיפוך. אחר כך נפנה לשימוש בסימטריות, חבורות והצגות שלהן כדי ללכסן את הטרנספורם ולהראות כי הוא הפיך. בדרך נפגוש את הלמה של Schur את הלפלסיאן וגם גזירה שבורה של פונקציות.

בהרצאה נדון על נקודת מבט שהתפתחה מאוד בעשורים האחרונים בחקר תורת החבורות שבה מתבוננים על חבורה כאובייקט גיאומטרי. נתאר שתי דרכים לבנות שפה (או נקודות גבול) לחבורה אינסופית, ונדבר על קשרים בין ההסתכלות הזו לבין תכונות אלגבריות של החבורה.

אנסה להסביר כיצד נקודת מבט הסתברותית עוזרת לקבל באופן אלמנטרי תובנות שונות בתורת המספרים.

בשנת 1963 ארדש ורני הוכיחו את משפט שבמבט ראשון נראה בלתי סביר:

משפט: נבנה גרף על הטבעיים באופן הבא: לכל זוג טבעיים נקבע אם יש צלע ביניהם על-ידי הטלת מטבע (נאמר, הוגן). אזי בהסתברות 1, כל שני גרפים שנבנה כך יהיו איזומורפיים.

הגרף המתקבל באופן זה (בהסתברות 1), נקרא ”הגרף המקרי“, והוא האנאלוג (גם במובנים טכניים מדויקים) בתורת הגרפים לרציונליים כטיפוס סדר. בהרצאה נוכיח את המשפט של ארדש ורני ונראה איך לבנות את הגרף המקרי (בכמה דרכים שונות), נסקור מעט מתכונותיו: כל גרף בן מניה הוא תת-גרף של הגרף המקרי, בכל חלוקה של קודקדי הגרף לשתי קבוצות — הגרף המושרה על אחת מהן לפחות הוא הגרף המקרי עצמו והוא אחד מבין שלושה גרפים בלבד שלהם תכונה זו (מהם השנים הנותרים?).

לבסוף, נראה איך להשתמש בלוגיקה של הגרף המקרי על מנת להוכיח את הטענה הבאה:

תהי $P$ תכונה מסדר ראשון של גרפים (אנו נסביר בדיוק למה הכוונה). נסמן $P(n)$ את ההסתברות שלגרף על $n$ קודקדים יש התכונה $P$. אזי הגבול, כאשר $n$ שואף לאינסוף, של $P(n)$ הוא $0$ או $1$.

ניזכר בכמה הגדרות. עבור אופרטור לינארי $T:\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ מגדירים את הנורמה $\|T\| = \sup\{\|Tv\| : \|v\|=1\}$. ניתן להגדיר באופן דומה נורמה על אופרטורים על מרחבים אינסוף מימדיים גם כן.

אופרטור $P$ נקרא אופרטור הטלה אם $P=P^* = P^{2}$ ואופרטור $U$ נקרא אופרטור אוניטארי אם $U^* = U^{-1}$

לגבי כל תכונה של אופרטורים מסוג זה, אפשר לשאול עד כמה היא ”גמישה“. כלומר, נניח שיש אופרטור ש“כמעט“ מקיים את התכונה. האם יש אופרטור שקרוב אליו שכן מקיים את התכונה? באופן מדויק יותר, למשל, בהינתן $\varepsilon>0$ האם קיים $\delta>0$ כך שלכל אופרטור $T$, אם $\|T-T^*\|<\delta$ ו-$\|T-T^2\|<\delta$ אז קיימת הטלה $P$ כך ש-$\|P-T\|<\varepsilon$. שימו לב שהמספר $\delta$ אינו תלוי ב-$n$. זהו תרגיל באלגברה לינארית, ואתם יכולים לנסות לפתור אותו בעצמכם לפני ההרצאה. כנ“ל השאלה האנלוגית עבור אופרטורים אוניטאריים.

השאלה שנדון בה נוגעת לזוג אופרטורים. נניח שיש לנו זוג אופרטורים אוניטאריים שכמעט מתחלפים, כלומר $\|UV-VU\|$ קטן. האם הם קרובים לזוג אופרטורים אוניטאריים שמתחלפים ממש?

בשנות ה-80‘, המתמטיקאי Voiculescu הראה שהתשובה היא שלילית: ישנם אופרטורים אוניטאריים שקרובים כרצונכם להתחלף אך אינם קרובים לאופרטורים אוניטאריים שמתחלפים בדיוק. ניתן לתת לכך הוכחה די פשוטה וישירה, שאנסה להציג בקצרה. אך מעניין יותר להבחין כי בעיה זו מתקשרת לסוגיות עמוקות יותר בטופולוגיה ואלגבראות של אופרטורים. ככל שיתיר הזמן, אנסה לקשר את השאלה לאלגבראות $C^*$, תורת $K$ ואגדים וקטוריים, ו“כמעט הצגות“ של חבורות, אך לא אניח ידע מוקדם בנושא זה.

כדאי לפני ההרצאה להזכיר לעצמכם מספר מושגים מאלגברה לינארית: מכפלה פנימית, נורמה מטריצאלית, אופרטורים אוניטאריים, נורמליים, צמודים לעצמם והטלות והפירוק הפולארי, וכן מה ההגדרה של מרחב הילברט.

משוואות דיפרנציאליות רגילות ומשוואות דיפרנציאליות חלקיות לרוב נלמדות בגישות שונות זו מזו. בהרצאה אציג קשר מיוחד ביניהן, כך שמשוואה חלקית תיראה כמו מערכת של אינסוף משוואות דיפרנציאליות רגילות. אנו נראה זאת על ידי פתרון אלגנטי של מערכת משוואות מהצורה $Mx''+Kx=0$ עבור $K$ ו-$M$ מטריצות מוגדרות חיובית וסימטריות, ונסביר אילו עקרונות בדרך פתרון זו יכולים לסייע בפתרון משוואת הגלים. בדרך זו, ”יצוץ“ הצורך להשתמש בפירוק פורייה של פונקציה כדי לפתור משוואות חלקיות.