אשנב למתמטיקה Ical Atom רשימת תפוצה

בימיו המוקדמים של החשבון הדיפרנציאלי היה נפוץ השימוש במספרים ”אינפינטסימליים“, כלומר, מספרים חיוביים הקטנים מכל מספר ממשי. מספרים אלה שימשו (בעיקר אצל לייבניץ) בבניות הבסיסיות ביותר, ובטיעונים לגביהן. למרות זאת, לא ניתנה הגדרה או בניה מפורשת שלהם, ובהמשך, כשנתגלה הצורך בהגדרות מדויקות יותר, מונחים אלה ננטשו לטובת גישות אחרות, אשר הבשילו, בסופו של דבר, לגישת ה-”$\epsilon-\delta$“ המוכרת לנו כיום.

בשנות ה-60 של המאה הקודמת הלוגיקאי אברהם רובינסון הסביר שבאמצעות כלים בסיסיים של לוגיקה מתמטית ניתן להגדיר בצורה מדויקת שדה מספרים ”לא סטנדרטיים“ המכיל את הממשיים וגם מספרים אינפינטסימליים. יתר-על-כן, שדה זה דומה מאד, מבחינת התכונות הפורמליות שלו לשדה המספרים הממשיים, וניתן להוכיח באמצעותו טענות על הממשיים ”האמיתיים“, בצורה האינטואיטיבית בה עשו זאת לייבניץ ובני תקופתו. רובינסון ומתמטיקאים אחרים אף השתמשו בשיטות אלה על-מנת להוכיח משפטים חדשים.

בהרצאה אני אסביר (בצורה לא לגמרי מדויקת) איך מתקבלים המספרים הלא-סטנדרטיים, מהן התכונות שלהם, ואראה מספר שימושים באנליזה ובתחומים נוספים.

כולנו מכירים (ואם לא ,אז רוב הסיכויים שאנחנו יכולים להגדיר לבד) את המושג חציון של קבוצה סופית של מספרים ממשיים. האם יש הכללה מעניינת של מושג החציון במרחבים אויקלידיים ממימד גבוה יותר מאחד?

כולנו יכולים וודאי להראות שאם באוסף סופי כלשהו של אינטרוולים כל שניים בעלי חיתוך לא ריק אז לכל האוסף חיתוך לא ריק. הנה הכללה של העובדה הזו (המשפט הקלאסי של HELLY מתחילת המאה ה-20):

אם אוסף סופי $F$ של קבוצות קמורות במימד $d$ מקיים שכל ${d+1}$ קבוצות ממנו בעלות חיתוך לא ריק אז לכל האוסף חיתוך לא ריק.

מה הקשר בין המשפט הנ“ל למושג החציון וקרובי משפחתו? על כל זאת ועוד בהרצאה.

פונקצית זטא של רימן היא אחת הפונקציות המרתקות במתמטיקה. למשל, היא יודעת את כל מה שאפשר לדעת על התפלגות הראשוניים, למרות שבינתיים היא לא מגלה לנו. בהרצאה נספר קצת על פונקצית זטא, תכונותיה, ועל הכללות שלה בכיוונים שונים.

המושג של ”פונקציה הרמונית“ חוזר לעבודות של לפלס ופוריה (במאה ה-18!) ויש לו חשיבות עצומה בפיסיקה, הנדסה, ומדעים בכללי. בעזרת ״ההרמוניות״ השונות ניתן לתאר את כל הגלים האפשריים. זה, למשל, מהווה את הבסיס לקידוד mp3. במאות ה-19 וה-20 הכלילו את המושג גם לאוביקטים מתמטיים מודרניים יותר, והחשיבות הגיאומטרית שלו הובנה יותר. אנחנו נשוחח על הגדרה גיאומטרית של פונקציה הרמונית, שהיא כללית למדי. נסביר איך ניתן להשתמש בפונקציות כאלה כדי לספור מסלולים פשוטים - שזו בעיה קשה בפני עצמה.

אני אשתדל להסביר את כל המושגים המופיעים בתקציר במהלך ההרצאה.

בתחום של אופטימיזציה קמורה, הרבה בעיות פרקטיות ניתן למדל כבעיות הכלה בין קבוצות קמורות שמוגדרות ע“י אי-שיוויון לינארי מטריציאלי. זהו תחום חדש יחסית, אך ישנם שימושים וקשרים רבים לתורת האינפורמציה הקוונטית, גיאומטריה אלגברית ממשית, ותורת המטריצות.

באופן כללי, לבדיקת ההכלה בין קבוצות קמורות כאלו יכולה להיות סיבוכיות גבוהה (NP-Hard). לעומת זאת, מסתבר שאפשר ”להחליש“ את הבעיה לבעיית הכלה בין קבוצות קמורות מטריציאלית, כך שבדיקת ההכלה נעשית כמעט בזמן ריצה פולינומיאלי.

בהרצאה נסקור בעיקר היבטים תיאורטים וגיאומטרים של הבעיות הללו. נסביר איך לעבור מהבעיה המקורית לבעיה הנוחה יותר, ואת הקשרים והשימושים לתורת האינפורמציה הקוונטית. במידה והזמן יאפשר, נסביר איך לכמת את השגיאה שבמעבר בין הבעיות, וכיצד סימטריה של גופים קמורים במרחב מאפשרת להעריך את השגיאה הזאת. הרקע הנדרש להרצאה הוא קורס באלגברה 2.