אשנב למתמטיקה Ical Atom רשימת תפוצה

משפט (שור): אם המרכז של חבורה הוא מאינדקס סופי $[G:ZG]=n<\infty$ אז חבורת הקומוטטור $G' = \langle [g,h]|g, h \in G\rangle$ סופית מאקספוננט $n$ כלומר מקיימת $g^n =1, \forall g \in G'$.

נוכיח את המשפט היפה הזה של שור תוך שימוש בכלים אלמנטריים שבדרך כלל לא נוגעים בהם בקורסים בתורת החבורות.

משפט דה-רם מאחד ומכליל הרבה מהמשפטים שלומדים בשבועות האחרונים של קורס בחשבון דיפרנציאלי גאומטרי. הוא מהווה דוגמה ראשונה לאינטראקציה חזקה בין טופולוגיה ומשוואות דיפרנציאליות. ניתן גם לראות משפט זה כנקודת התחלה לאספקטים מרכזיים של הגאומטריה והאריתמטיקה של ימינו. אני אסביר מה המשפט אומר, ואספר קצת על התפתחויות מודרניות.

אחרי ההרצאה, בשעה 19:30, נקיים ”ג‘אם“ מוסיקה חופשי, מוזמנים לבוא עם כלי נגינה ולנגן, או סתם לבוא לשמוע

סוליטר בולגרי משוחק באופן הבא: קחו 15 אבנים. וחלקו אותן למספר ערמות, ללא הגבלה כלשהי על מספר הערמות או על הגודל של כל ערמה. עתה קחו אבן אחת מכל ערמה, וצרו ערמה חדשה. קיבלתם חלוקה חדשה של האבנים לערמות. חזרו על התהליך. אחרי מספר סופי של פעמים, בהכרח תחזרו לחלוקה שבה כבר הייתם. החלוקה הזו תהיה תמיד לערמות בגודל 1,2,3,4,5 – וזו חלוקה יציבה שהמשחק לא משנה. תוצאה דומה תתקבל לכל ערמת אבנים מגודל N, עבור N מספר ”משולש“ (מספר שהוא סכום המספרים מ-1 עד k לאיזה k טבעי).

בהרצאה ניתן הוכחה קלה של הטענה הזו, ונדון בשאלות קשורות: מה קורה אם מתחילים את המשחק עם N אבנים למספר שאינו מספר משולש? מהם המחזורים במקרה זה? כמה מחזורים יש? כמה מצבי ”גן עדן“ – מצבים שאין להם מצב קודם – קיימים ועוד.

האנליזה כפי שאנחנו מכירים אותה נוסחה במאה ה-19, בעקבות הבנה הדרגתית שהניסוחים המקוריים של לייבניץ וניוטון, באמצעות ״אינפינטסימלים״, אינם מדויקים דיים. השיפור בדיוק הגיע במחיר של אובדן מסוים של אינטואיציה, וסירבול טכני וקונספטואלי.

באמצע המאה ה-20 אברהם רובינסון הבין שניתן לנסח את החשבון הדיפרנציאלי בצורה מדויקת בשפה דומה לשפה המקורית של לייבניץ וניוטון, באמצעות לוגיקה מתמטית, ובכך להינות מניסוח אינטואיטיבי (יש יגידו), בלי לוותר על הדיוק.

בהרצאה נסקור (באופן לא פורמלי) את הניסוח הזה, ואת הכלים המאפשרים אותו. ההרצאה תתאים גם לתלמידי שנה א.

ישנם המון קשרים שונים בין מתמטיקה ומוזיקה, לדוגמה הרמוניה, משקלים, תדרים, וכדומה. בהרצאה זו אנחנו נדבר על קשר טיפה שונה בין מתמטיקה ומוזיקה, המראה כיצד בעזרת כלים פשוטים מתורת הקבוצות ותורת החבורות, ניתן לנתח יצירות בצורה פשוטה ומעניינת, ואיך כל זה קשור לסימטריות של פוליגונים. בנוסף, נדון כיצד ניתן בעזרת שיטות אלו ניתן להלחין מוזיקה וכיצד מלחינים מסוגות שונות, כגון רוק, מוזיקה קלאסית, ג‘אז, מוזיקה לסרטים וכדומה, השתמשו בשיטות אלו.

הממוצע החשבוני גיאומטרי $M(a,b)$ של שני מספרים $a,b$ מוגדר כגבול משותף של שתי סדרות מספרים ממשיים: אם $a,b$ הם שני מספרים ממשיים אז ”מחליפים אותם“ בממוצע הרגיל שלהם $(a+b)/2$ ובממוצע הגיאומטרי שלהם $\sqrt{ab}$ וממשיכים בתהליך ההחלפה. לא קשה להראות שהמספרים מתקרבים זה לזה והגבול המשותף הוא $M(a,b)$.

גאוס שם לב שהמספר הזה קשור לאינטגרלים שקשה מאוד לחשב אותם ובמיוחד להיקף של הלמינסקטה $r^2=\cos(2\phi)$ של ברנולי. נסביר את הקשר הזה וננסה להבין אותו מנקודת מבט מודרנית. בדרך ניפגש עם עקומים אליפטיים ותבניות מודולריות.