אשנב למתמטיקה Ical Atom רשימת תפוצה

Singularity Theory has grown out of two questions:

• How does a curve ”look locally“ near its non-smooth point?
• How does a function ”look locally“ near its degenerate critical point?

By now this is an active area at the crossroad of Algebraic/Differential Geometry, Algebraic Topology, Commutative Algebra (The immediate applications in high-tech often go under the name ”The Catastrophe Theory“.)

The talk will consist of a few examples, showing how the singular creatures differ from the smooth ones, and how we can study them via Taylor expansions, implicit function theorem, properties of knots, ideals, quotients of rings, etc.

Prerequisites: Geometric Calculus 1/Infi3, Algebraic Structures (Complex Analysis and Introduction to Topology are helpful, but not strictly necessary)

(ההרצאה תינתן בעברית)

ניתן להגדיר (אי) אמנביליות של פעולת חבורה בדרכים רבות. בהרצאה נגדיר אי-אמנביליות של פעולת חבורה בדרך קומבינטורית, באמצעות חלוקות פרדוקסליות.

חלוקה פרדוקסלית של פעולה של חבורה $G$ על קבוצה $X$ היא חלוקה של הקבוצה $X$ למספר סופי של חלקים זרים כך שרק באמצעות הזזות שלהם (באמצעות איברים מהחבורה) ניתן לקבל שני עותקים של הקבוצה כולה. פעולת חבורה שקיימת לה חלוקה פרדוקסלית נקראת לא אמנבילית. מספר טרסקי של פעולת חבורה לא אמנבילית הוא מספר החלקים המינימלי בחלוקה פרדוקסלית שלה.

בהרצאה נענה על השאלה ”איזה מספרים הם מספרי טרסקי של פעולות חבורה?“ ונדגים בנייה של פעולת חבורה עם מספר טרסקי 5.

הבעיה של פתרון משוואות אלגבריות בשלמים או ברציונליים היא מהבעיות העתיקות במתמטיקה. חלק מההרצאה יוקדש למספר דוגמאות מפורסמות, כמו השערת פרמה. בהרצאה אני אספר על שיטות המשתמשות במספרים הפי-אדיים. לכל ראשוני $p$ יש שדה מספרים $p$-אדיים שהוא השלמה של הרציונליים ביחס לערך מוחלט השונה מהערך המוחלט הרגיל. למשוואות אלגבריות עם יותר משתנים ממשוואות יש בדרך כלל הרבה פתרונות מעל המספרים האלה. השיטות שאספר עליהן מאפשרות לפעמים לתאר ולחשב פונקציות על אוסף הפתרונות האלה אשר מתאפסות על כל הפתרונות הרציונליים (או השלמים, תלוי בבעיה). פונקציות אלה הן גרסה פי-אדית של אינטגרלים קוויים. החישוב של הפונקציות הללו נעשה באמצעות מחשב והוא מעניין בין היתר כי האלגוריתמים המשמשים לו מקורם באלגוריתמים לספירת פתרונות של משוואות מעל שדות סופיים שעיקר העניין בהם הוא בשטח ההצפנה. האלגוריתם הראשון לחישוב אינטגרלים פי-אדיים פותח על ידי תלמיד לתואר שני באוניברסיטת בן-גוריון. אני אדגים גם חלק מהאלגוריתמים המדוברים ואספר על הצלחה טרייה של השיטות החדשות לפתרון משוואות.

חבורה נקראת סופית מקומית אם כל קבוצה סופית של איברים בחבורה מוכלת בתת חבורה סופית.
זוהי משפחה מעניינת ועשירה מאוד של חבורות, שהרבה פעמים לא מוזכרת כלל בלימודי תואר ראשון.
אנסה לתת טעימה מהתורה הזו תוך התמקדות בחבורות סילו ומשפטי סילו על החבורות האילו.
בפרט אוכיח משפט יפה מאוד של עסאר (Asar) שאומר שבמידה ויש מספר לכל היותר בן מניה של חברות סילו אז הן כולן צמודות זו לזו.

במפגש נדון ברעיון הבא: פונקציות הרמוניות חסומות מהוות גשר בין אובייקט מתמטי לבין ה“שפה שלו“ (במובן של האוסף הגבולות שלו). אח“כ נתמקד בהקשר של חבורות ונראה איך אפשר לבנות ”שפה“ לחבורה באמצעות פונקציות הרמוניות. אחרי שנבין את חשיבותן, נדון בשאלה לאילו חבורות אין כמעט פונקציות הרמוניות חסומות.

לכל מרחב מטרי יש שיכון טבעי כקבוצה פתוחה במרחב פונקציות קומפקטי, ונקודות השפה של המרחב בשיכון זה יכולות ללמד עליו רבות. אחד המקרים המעניינים הוא כאשר המרחב המטרי הוא חבורה נוצרת סופית עם מטריקת המילה (מטריקת הגרף של גרף קיילי המתאים). אז יש גם פעולה טבעית של החבורה על השפה, והיא יכולה ללמד על תכונות החבורה עצמה. בהרצאה ניתן סקירה למושגים אלה ומושגים בסיסיים בתורת החבורות הגאומטרית, ונישאר בתקווה בעיקר עם הרבה שאלות פתוחות.

אלגברה (מרחב וקטורי עם כפל) היא מושג בסיסי, שמופיע בהרבה תחומים. אנחנו נדבר על אלגבראות שנוצרות על ידי מטריצות (מעל המרוכבים) ונוכיח משפט קלאסי של ברנסייד, המתאר מתי מספר מטריצות יוצרות את כל המטריצות כאלגברה. בנוסף, נדון במבנה של אלגבראות מסוג זה. נראה מה הם אינווריאנטים של אלגברה ואיך ניתן לבנות כאלה. לבסוף, אם יאפשר הזמן, נגע במה אנשים מנסים להבין היום בתחומים אלה.