כל הקורסים ב-2020

1. שדות סדורים: הבעיה ה-17 של הילברט, סדרים וקדם-סדרים, סכומי ריבועים, שדות סגורים ממשית, תורת ארטין-שרייר
2. תורת גלואה האינסופית: חבורות פרוסופיות, התאמת גלואה במקרה האינסופי
3. מבוא לקוהומולוגיית גלואה

• חבורה כסמטריה. דוגמאות: חבורות ציקליות, דיהדרלית, סמטריות. חבורות מטריצות.
• הומומורפיזם. תת חבורות ותת חבורות נורמליות. חבורות מנה. משפט לגרנז‘. משפטי האיזומורפיזם. מכפלה ישרה של חבורות.
• פעולה של חבורה על קבוצה. משפט קיילי.
• אוטומורפיזמים של חבורות.
• משפטי סילו ומיון חבורות מסדר נמוך.
• סדרת הרכב ומשפט ז‘ורדן-הולדר. חבורות פתירות.
• מיון חבורות חילופיות נוצרות סופית.
• חבורה סימטרית וסידרת הרכב שלה.
• חוגים. אידאלים ראשוניים ומקסימליים. תחום שלמות. חוג מנה. משפטי הומומורפיזם.
• אלגברה מולטילינארית: מרחבי מנה. מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים. פעולה על חבורה סמטרית על חזקות טנזוריות. אלגברה סימטרית ואלגברה חיצונית. תבניות מולטילינאריות ודטרמיננטה.
• נושאי רשות: חבורות סימטריות של פאונים משוכללים. חבורות חופשיות. מכפלה חצי-ישרה. תורת ההצגות של חבורות סופיות.

סיגמא-אלגבראות, משפט הרחבת המידה ומידת לבג על הישר, מרחבי מידה כלליים, פונקציות מדידות, תורת האינטגרציה, משפטי התכנסות (משפט אגורוב, התכנסות במידה, כמעט תמיד ובנורמות $L_p$), משפט לוזין, מרחבי $L_p$, מידות במרחבי מכפלה ומשפט פוביני, מידות מסומנות ומרוכבות ופירוק האן, משפט רדון ניקודים ושימושים, גזירה, נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

מערכת אקסיומות לתחשיב הפרדיקטים. משפט השלמות ומשפט הקומפקטיות. מבוא לתורת המודלים: משפטי סקולם-לוונהים ותתי מבנים אלמנטריים. כריעות ואי-כריעות של תורות. משפט אי השלמות הראשון של גדל.

גרפים ותת גרפים, עצים, קשירות, מסלולי אוילר, מעגלים המילטוניים, זיווגים, צביעות של גרפים, גרפים מישוריים, מבוא לתורת רמזי, גרפים מכוונים, שיטות הסתברותיות ואלגבריות בתורת הגרפים.

• חלוקה ופריקות יחידה ב-$\mathbb{Z}$.
• מספרים ראשוניים.
• קונגרואציה.
• שאריות רבועיות.
• שרשים פרמיטיביים.
• שברים משולבים.
• מספרים אלגבריים וקרובים דיאופנטיים
• יסודות תורת המספרים האלגברית

מרחבים מטריים ונורמיים. שקילות הנורמות במרחבים סוף מימדיים. קומפקטיות ומשפט היינה-בורל. התכנסות של סדרות וטורים של פונקציות נקודתית, במידה שווה ובנורמות אחרות. גזירה ואינטגרציה איבר-איבר של טורי פונקציות, שימושים לטורי חזקות. שלמות: שלמות של מרחב הפונקציות הרציפות בקטע סגור ובמרחב מטרי קומפקטי, בוחן $M$ של ויירשטראס. משפט הקטגוריה של בייר, פונקציונלים לינאריים חסומים ומשפט בנך-שטיינהאוס. קומפקטיות במרחבי פונקציות ומשפט ארצלה אסקולי. מבוא לטורי פורייה: סכימת צ‘זרו, קונבולוציות ומשפט פייר. משפט הקירוב של ויירשטראס. התכנסות ב-$L^2$. התכנסות נקודתית, גרעין דיריכלה וקריטריון דיני.

קבוצות פתוחות, סגורות, קומפקטיות במרחב האוקלידי. נורמות מטרציאליות ושקילות הנורמות. גבולות ורציפות בכמה משתנים. מסילות וקשירות מסילתית. נזגרות חלקיות וכווניות, הגרדיינט ומושג הדיפרנציאביליות. משפטי הפונקציה הסתומה, הפתוחה וההפוכה. כופלי לגרנז‘. אופטימיזציה, מטריצת ההסיאן ונקודות קריטיות. אינטגרל רימן הרב-מימדי: משפט פוביני, משפט שינוי המשתנה.

• יריעות טופולוגיות. חבורה יסודית ומרחבי כיסוי. שימושים.
• הומולוגיה סינגולרית ושימושים.
• יריעות גזירות. תבניות דיפרנציאליות ומשפט Stokes. הגדרת קוהומולגית de Rham
• נושאים נוספים אם ישאר זמן

• משפטים בסיסיים והגדרות: קבוצות קמורות, למת ההפרדה, משפט הלי, משפט רדון, משפט קרתאודורי, נקודת מרכז, משפט טברברג, גרפים מישוריים, משפט קבה,
• גרפים גאומטריים: למת החיתוכים. שימושים לבעיות ארדס: בעיות חילה בין נקודות ועקומים, בעיית המרחקים הזהים, בעיית ספירת מרחקים שונים, למת בחירה של נק בתוך עיגולים. נק בתוך סימפלקסים. ספירת חציות של קבוצת נקודות ע“י על-מישורים. שימוש בחילות לבעיות בתורת המספרים האדיטיבית.
• בעיות צביעה וטרנסברסלים להיפר גרפים גאומטריים: מימד וי סי, רשתות אפסילון ורשתות אפסילון חלשות לקבוצות קמורות. צביעות חסרות קונפליקטים.
• מערכים: סדרות דבנפורט שינצל ושימושיהן לתתי מבנים במערכים.
• תורת רמזי גאומטרית: משפט ארדס סקרס לקבוצות קמורות. שימושים של משפט דילוורס, גרפים קווזי מישוריים.

באופן כללי הגיאומטריה האלגברית עוסקת בחקר עצמים גיאומטריים המוגדרים ע“י נוסחאות אלגבריות, כלומר פולינומים במספר משתנים. התחום המתמטי הזה משיק לגיאומטריה דיפרנציאלית, לתורת המספרים, לטופולוגיה ולאלגברה, ויש לו שימושים גם בקומבינטוריקה, תורת האופרטורים, פיזיקה תיאורטית ועוד. הקורס הנוכחי ישמש מבוא לתחום קשה אך מרתק זה. הקורס מיועד לתלמידי מתמטיקה לתואר שני. קצב ההתקדמות והיקף החומר תלויים ברמת הידע של התלמידים וברצונם ללמוד באופן עצמאי חלק מהנושאים. תלמידים שירצו ללמוד עוד (אגדים וקטוריים, אלומות, קוהומולוגיה, תורת החיתוך וכו‘) יוכלו להמשיך בקורסי קריאה מודרכת.

רשימת נושאים

1. נושאים מאלגברה קומוטטיבית: אידאלים ראשוניים ולוקאליזציה, מכפלות טנזוריות, חוגים נתריאניים ומשפט הבסיס של הילברט, מעלת טרנסצדנטיות של הרחבת שדות, משפט המימד.
2. יריעות אלגבריות מעל שדה סגור אלגברית: יריעות אפיניות ופרויקטיביות, מורפיזמים, שדה הפונקציות הרציונליות, החוג המקומי בנקודה, יריעות חלקות.
3. עקומים: השקילות הקטיגורית בין עקומים חלקים שלמים מעל שדה סגור אלגברית לבין שדות פונקציות ממעלת טרנסצדנטיות אחת.
4. תורת החיתוך במישור הפרוייקטיבי (משפט בזו).
5. חבורת פיקאר, אלומות הפיכות, שיכונים פרויקטיים ואוטומורפיזמים של מרחבים פרויקטיביים.
6. שיטות דיפרינציאליות: תבניות דיפרנציאליות, השלמות של חוגים מקומיים, כיסויים לא מסועפים.

הקורס עוסק בתופעה הפיזיקלית של מעברי-פזה, דרך הפרספקטיבה של מודל החלחול או ”פרקולציה“.

נעבור על התוצאות המרכזיות בפרקולציה ובקרובי המשפחה כגון מודלי Ising, Potts, ו-FK, החל מעבודותיהם של Ising ו-Pierels בתחילת המאה ה-20 ועד לעבודות המודרניות של Smirnov (עבורן קיבל מדלית פילדס).

נושאי הקורס:

1. פרקלוציה על גרפים, הגדרות ותכונות בסיסיות
2. אי-שוויון Harris
3. אי שוויון van den Berg-Kesten (אי שוויון Reimer)
4. נוסחת Russo
5. משפט Burton-Keane
6. דעיכה אקספוננצילית של קורלציות בתחום התת-קריטי
7. פרקולציה במישור: התורה של Russo-Seymor-Welsh
8. פרקולציה במישור: משפט Harris-Kesten
9. אינוורינטיות קונפורמית: נוסחת Cardy-Smirnov
10. פרקולציה בחבורות
11. פרקולציה קריטית בחבורות לא אמנביליות: BLPS

רשימת נושאים

1. מודולים: מודולים חופשיים, סדרות מדוייקות, מכפלה טנזורית, מודולי הום, שטיחות.
2. אידיאלים ראשוניים ולוקליזציה: חוגים מקומיים, הלמה של נאקיאמה, הספקטרום של חוג, מימד וקשירות.
3. חוגים נתריאניים: משפט הבסיס של הילברט, הלמה של ארטין-ריס, השלמה, דירוג.
4. תורת המימד: משפט האפסים של הילברט, משפט הנירמול של נתר, מעלת טרנסצנדנטיות של שדות.

סילבוס אינו מוגדר בתקופה המתבקשת

מרחבי בנך ומרחבי הילברט. תכונות בסיסיות של מרחבי הילברט. מרחבים וקטורים טופולוגיים. משפט בנך-שטיינהאוס (עקרון החסימות במידה שווה), משפט ההעתקה הפתוחה ומשפט הגרף הסגור. משפט האן-בנך. דואליות. מידות על מרחבים קומפקטיים מקומית, המרחב הדואלי של $C(X)$. טופולוגיות חלשות וחלשות-$*$, משפט בנך-אלאוגלו. קמירות ומשפט קריין-מילמן. משפט סטון-ויירשטראס. אופרטורים קומפקטיים על מרחב הילברט. מבוא לאלגבראות בנך ולתורת גלפנד. נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

יריעות דיפרנציאביליות משוכנות במרחב האוקלידי עם שפה. המרחב המשיק, הנורמל, שדות וקטורים. יריעות אוריינטביליות, אוריינטציית הנורמל החיצוני. פירוקי יחידה חלקים. תבניות דיפרנציאליות על יריעות משוכנות. הנגזרת החיצונית. אינטגרציה של תבניות דיפרנציאליות ומשפט סטוקס המוכלל. ניסוחים קלאסיים של מקרים פרטיים (גרדיינט, רוטור ודיברגנץ ומשפטי גרין, סטוקס וגאוס). תבניות סגורות ומדויקות. שדות וקטוריים משמרים וקיום הפוטנציאל. שימושים למשוואות דיפרנציאליות מדויקות. מבוא לגיאומטריה דיפרנציאלית: עקמומיות של עקומים ומשטחים במרחב התלת מימדי, העתקת גאוס משפט גאוס-בונה (אם יתיר הזמן).

משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר $N$, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.

מרחבים טופולוגיים ופונקציות רציפות (מרחבי מכפלה, מרחבי מנה ומרחבים מטריים). קשירות וקומפקטיות. תנאי מניה והפרדה (הלמה של אוריסון, משפט המטריזציה של אוריסון, חלוקת קטע היחידה). משפט טיכונוף וקומפקטיפיקציית סטון-צ‘ך. משפטי מטריזציה ופרה-קומפקטיות.

מטרת הקורס

לימוד יסודות האנאליזה הנומרית - התורה של חישוב אובייקטים מתמטיים בצורה מקורבת באמצעות מחשב

נושאי הקורס

ייצוג מספרים במחשב ושגיאות חישוב, פתרון נומרי של מערכות משוואות לינאריות, וקטורים עצמיים, פתרון משוואות לא לינאריות, קירובים לפונקציות, גזירה ואינטגרציה נומרית, פתרון נומרי של משוואות דיפרנציאליות

• מספרים מרוכבים. פונצקיות אנליטיות, משוואות קושי-רימן.
• העתקות קונפורמיות, טרנספורמציות מוביוס.
• אינטגרציה. משפט קושי. נוסחת קושי. אפסים, קטבים, פיתוח טיילור, פיתוח לורן. חשבון השאריות.
• משפט ויירשטרס ומשפט מיטג-לפלר. פונקציות שלמות. משפחות נורמליות.
• משפט ההעתקה של רימן. פונקציות הרמוניות, בעיית דיריכלה.

1. טרנספורם פורייה: קונבולוציות, נוסחת ההיפוך, משפט פלנשרל, פונקציות הרמיט, דיסטריבוציות. נוסחת הסכום של פואסון. טרנספורם
2. פורייה רב-מימדי. טרנספורם לפלס. קשר לקונבולוציות וטרנספורם פורייה. פולינומי לגר. יחידות ומשפט לרץ‘. שימושים למשוואות דיפרנציאליות רגילות.
3. מיון של משוואות דיפרנציאליון חלקיות מסדר שני: משוואות אליפטיות, היפרבוליות ופרבוליות. משוואות לפלס, הגלים והחום.
4. משוואות אליפטיות: משוואות לפלס ופואסון. בעיות שפה של דיריכלה ונוימן. גרעין פואסון. תכונות של פונקציות הרמוניות, עקרון המקסימום.
5. שיטות אנליטיות לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות: בעיית שטורם-ליוביל ושיטת הפרדת המשתנים בתחום חסום. שימושים למשוואות לפלס, הגלים והחום, לרבות בעיות לא הומוגניות. שימושים של טרנספורם פורייה ולפלס לפתרון בעיות בתחומים לא חסומים.

ביבליוגרפיה

1. Stein E. and Shakarchi R., Fourier analysis, Princeton University Press, 2003. 2. Korner T.W., Fourier analysis, Cambridge University Press, 1988. 3. Katznelson Y., An Introduction to Harmonic Analysis, Dover publications. 4. John, Partial differential equations, Reprint of the fourth edition. Applied Mathematical Sciences, 1. Springer-Verlag, New York, 1991. 5. Evans Lawrence C. Partial Differential Equations, Second Edition. 6. Gilbarg D.; Trudinger N. S. Elliptic partial differential equations of second order, Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Ver lag, Berlin, 2001. 7. Zauderer E. Partial differential equations of applied mathematics, Second edition. Pure and Applied Mathematics (New York). A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1989. xvi+891 pp. ISBN: 0-471-61298-7.

• שדות: עובדות בסיסיות ודוגמאות, אפיון (קרקטריסטיקה), שדות ראשוניים
• פולינומים: פריקות, מבחן איזנשטיין, למת גאוס
• הרחבות של שדות: תכונת המגדל, הרחבות אלגבריות וטרנסצנדנטיות, צרוף אבר לשדה
• בניות בסרגל ומחוגה
• סגורים אלגבריים: קיום ויחידות
• שדות פיצול
• הרחבות גלואה: אוטומורפיזמים, נורמליות, ספרביליות, שדות שבת, חבורות גלואה, המשפט היסודי של תורת גלואה
• הרחבות ציקליות
• פתרון משואות פולינומיאליות על-ידי רדיקלים: חבורת גלואה של פולינום, הדיסקרמיננטה, נוסחאת קרנדו-טרטגליאה, חבורות פתירות, משפט גלואה אודות פתירות על-ידי רדיקלים
• שרשי יחידה: הרחבות ציקלוטומיות, הפולינומים הציקלוטומיים ואי-פריקותם
• שדות סופיים: קיום ויחידות, חבורות גלואה מעל שדות סופיים, אברים פרמיטיביים

1. חוגים ואידאלים.
2. מודולים. סדרות מדוייקות. מכפלה טנזורית של מודולים.
3. חוגים נטרים ומודולים מעליהם
4. משפט הבסיס של הילברט.
5. מודולים נוצרים סופית מעל תחום אידאילים ראשיים.
6. משפט האפסים של הילברט.
7. יריעות אפיניות.
8. אידיאלים ראשונים ולוקליזציה. פרוק פרימרי.
9. חוגי הערכה בדידה.

מבוא למושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות:

מרחבי הסתברות גבולות של מאורעות ורציפות של הסתברות הסתברות מותנה אי-תלות של מאורעות סיגמה-אלגבראות, מרחבים רציפים, ומידת לבג משתנים מקריים והתפלגויות אי-תלות התפלגויות משותפות והתפלגויות מותנות תוחלת שונות ושונות משותפת התכנסות של משתנים מקריים: כמעט-תמיד, Lp, בהסתברות חוק המספרים הגדולים התכנסות בהתפלגות משפט הגבול המרכזי

נושאים

1. מבוא ומושגים בסיסיים.
2. חסמים על גודל קודים.
3. שדות סופיים.
4. קודים ליניאריים.
5. קודים מושלמים.
6. קודים ציקליים.
7. אריזות כדורים.
8. חסמים אסימפטוטיים על גודל קודים.

תורת הקבוצות האקסיומטית היא היסוד לכל המתמטיקה המודרנית, ולהבדיל מתורות מתמטיות אחרות, בהן ניתן להוכיח תכונות של עצמים מתמטיים, בתורת הקבוצות האקסיומטית אפשר להוכיח שאי-אפשר להוכיח דבר מה.

בקורס נכיר את יסודות התורה, נלמד עוד על סודרים ומונים, נבקר בעולם העשיר של קומבינטוריקה אינסופית, ובסוף נציג את שיטת הכפייה של כהן, ובאמצעותה נציג את הוכחת אי-התלות של השערת הרצף של קנטור, שזיכתה את כהן בפרס פילדס.

בקורס זה נדון במערכות דינאמית שמאפשרות ”יצוג דיגיטלי מדוייק“, כלומר מרחב המצבים שלהם מיוצג על ידי סדרות ביטים אינסופיות. מערכות אילו, הנקראות ”מערכות קנטור מינימליות“ זכו לעניין רב בעשורים האחרונים. בקורס נדון במושגים של איזומורפיזם ושקילות מסלולית של מערכות דינאמיות ונדון בסיווג שלהן. מטרת הקורס היא להקנות לתלמידים היכרות בסיסית עם תחום המערכות הדינאמיות ומושגי יסוד בתחום, דרך תוצאות הנמצאות במחקר העדכני, וקשרים עם תחומים אחרים במתמטיקה. נושאים: מערכות דינאמיות טופולוגיות ומידתיות, מינמליות וארגודיות, מערכות קנטור מינמיליות, דיאגרמות ברטלי, מידות אינווריאנטיות, איזומורפיזם, שקילות מסלולית, יחסי שקילות טופולוגיים, אינווריאנטים לשקילות מסלולית.

1. חזרה על יריעות גזירות, הגדרה של חבורות לי. מנות בקטיגוריה של חבורות לי, מרחבים הומוגניים, מידת האר, רכיבי קשירות.

2. חבורות אלגבריות, חבורות מטריצות, החבורות הקלאסיות.

3. אלגבראות לי והקשר לחבורות לי.

4. חבורות לי ואלגבראות לי נילפוטנטיות, פתירות ופשוטות למחצה. משפט לי, משפט אנגל, פירוק לוי.

5. תבנית קילינג קרטן.

6. הצגות של אלגברת לי מעל המספרים המרוכבים.

7. משקלות ושורשים, מערכות שורשים, דיאגרמות דינקין, מיון של אלגבראות לי פשוטות למחצה מרוכבות.