אשנב למתמטיקה Ical Atom רשימת תפוצה

הכנסת מושג היריעה, על ידי גאוס ורימן מהווה את אחת מנקודות המפנה בהתפתחות הגיאומטריה. לאחרונה הסעיר את עולם המתמטיקה פתרון של בעיית הגיאומטריזציה של Thurston על ידי Grigori Perelman. פתרון שממיין במובן מסוים את כל היריעות הקומפקטיות התלת מימדיות.

אנחנו ננסה להבין במה מדובר דרך סקר של הבעיה הדו-מימדית (שהיא הרבה הרבה יותר פשוטה) ונסקור את הפתרון שלה.

יהא $f(x_1,\ldots,x_d)$ פולינום בעל מקדמים שלמים, ולכל $m\in\mathbb{N}$ נסמן ב-$\mathcal{N}_m$ את מספר הפתרונות ב-$\left(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\right)^d$ למשוואה $f\equiv 0\pmod{m}$.

אולי לא מאוד מפתיע לגלות כי במקרים רבים ניתן ללמוד הרבה על הסדרה $(\mathcal{N}_m)_{m\in\mathbb{N}}$ מהתבוננות בתתי-סדרות מהצורה $(\mathcal{N}_{p^k})_{k\in\mathbb{N}}$ כאשר $p$ הוא מספר ראשוני כלשהו. עובדה יותר מפתיעה היא כי לפעולה זו של ”התמקדות ב-$p$“ יש השלכות טופולוגיות מרחיקות לכת, המזכירות את התופעות המתרחשות כאשר אנו משלימים את המספרים הרציונליים לממשיים. בפרט, פעולה זו מאפשרת לנו לעבור מהעולם הדיסקרטי של המספרים השלמים אל העולם של המספרים ה-$p$-אדיים, בו ניתן להתמודד עם שאלות מהסוג שהצגנו בעזרת שימוש בכלים גיאומטריים ואנליטיים שלא היו ברשותנו עד כה.

בהרצאה זו נבצע היכרות ראשונית עם המספרים ה-$p$-אדיים ונציג כמה מן הכלים המרכזיים בתורה ודרכים להשתמש בהם לפתרון מגוון בעיות ספירה.

In mathematics you don‘t understand things. You just get used to them.
(ג‘ון פון נוימן)

מספר אינסופי (נאמר, בן מניה) של אנשים נכנסים לחדר (גדול מספיק להכיל את כולם) וכל אחד נושא על גבו מספר ממשי. המשתתפים יכולים לראות את כל המספרים שנושאים האחרים – אך, כמובן, לא את המספר על גבם. אחד אחד השחקנים מוצאים מן החדר, וכל אחד בתורו מנחש מה המספר הכתוב על גבו. בתכנון מוקדם – ומבלי לתקשר ביניהם מרגע תחילת המשחק – מצליחים כל השחקנים, פרט למספר סופי, לנחש נכון את המספר.

מהי האסטרטגיה, כיצד יתכן שאסטרטגיה כזו בכלל קיימת? האין כאן סתירה לחוקי ההסתברות?

אקסיומת הבחירה היא חרב הפיפיות המפורסמת ביותר במתמטיקה: מעטים העקרונות המתמטים שלהם מגוון כה רחב של שימושים והשלכות עמוקים ומרחקי לכת כמו לאקסיומת הבחירה; אך יש לה גם השלכות כה מפתיעות שעוררו בעבר (ובמידה פחותה גם היום) ויכוחים סוערים בדבר תקפותה וסבירותה.

בהרצאה נציג את אקסיומת הבחירה ובודדים מבין מאות הניסוחים הידועים כיום כשקולים לה. נסקור כמה מן השימושים החשובים של האקסיומה, ונדון ב“פרדוקסים“ שהיא מעוררת. אם יתיר הזמן, נראה שגם ללא אקסיומת הבחירה המתמטיקה בהחלט עדיין יכולה להפתיע.

אם $X$ מערכת משוואות אלגבריות עם מקדמים ב-$\mathbb{Z}$, לעיתים קשה מאד לענות על השאלות הכי נאיביות (”אריתמטיות“) לגבי הקבוצה $X(\mathbb{Z})$ של הפתרונות של $X$ ב-$\mathbb{Z}$: האם קיימים אינסוף פתרונות? אם לא, מה הם כל הפתרונות?

לעומת זאת, מסתבר שעל שאלות פחות נאיביות לגבי הגאומטריה של מרחב הפתרונות $X(\mathbb{C})$ ל-$X$ ב-$\mathbb{C}$ דווקא יותר קל לענות. המשפט של זיגל נותן דוגמה ראשונה של קשר עמוק וגדל בין הגאומטריה של $X(\mathbb{C})$ והאריתמטיקה של $X(\mathbb{Z})$, ושל האפשרות להשתמש בגאומטריה לענות על שאלות אריתמטיות

מערכות דינמיות זהו תחום רחב מאוד ובעל שימושים רבים במתמטיקה. ישנן בעיות רבות שהיו פתוחות לאורך שנים ולבסוף באו על פתרונן בעקבות ניסוח דינמי שקול, ובאמצעות כלים מדינמיקה. בהרצאה זו נדון על קצה המזלג במהי מערכת דינמית, ומהן השאלות ששואלים שם. אחר כך נראה כיצד ניתן להשתמש ברעיונות אלה על מנת לייצר פרקטלים.

אנחנו מכירים זהויות שונות: חוק חילוף לחיבור ולכפל, חוק קיבוץ לחיבור ולכפל, חוק פילוג, חוקים של כפל מקוצר כל אלה והרבה זהויות אחרות מוכרות לנו מבית ספר.

אומרים כי אלגברה (מבנה מתמטי) $A$ היא בעלת בסיס סופי אם הקבוצה של כל הזהויות של $A$ מוגדרת על-ידי קבוצה סופית $B$ של זהויות, ז“א כל זהות של $A$ ניתן להסיק מ-$B$. קיום או אי-קיום של בסיס טוב (סופי, בלתי תלוי) של זהויות הוא איפיון חשוב של מבנה מתמטי וגם עוזר לחישובים.

בעיית הבסיס הסופי של טרסקי היא השאלה על קיום אלגוריתם שמחליט עבור כל אלגברה סופית האם היא בעלת בסיס סופי. יש עוד בעיות מפורסמות על בסיס סופי. אני אסביר בעיות אלה וגם בעיות יותר פשוטות על בסיס סופי של זהויות וגם כמה שיטות הוכחה של קיום ואי-קיום של בסיס סופי של זהויות.