אשנב למתמטיקה Ical Atom רשימת תפוצה

תהליכי סיעוף (branching processes) הינו תהליך סטוכסטי $Z_n$ המקיים את תנאי האבולוציה $Z_{n+1}=\sum_{j=1}^{Z_n}X_{n,j}$, כאשר $X_{n,j}$ משתנה מקרי (כל המושגים הדרושים יוסברו במהלך ההרצאה).

הניתוח המתמטי לתהליכי סיעוף החל בעבודתם הסמינאלית של Galton ו-Watson (1875), שניסו להסביר מדוע בתי האצולה באנגליה הוויקטוריטנית נעלמים, אך עם השנים הפכו תהליכי סיעוף ענף שלם במתמטיקה שימושית, עם הרחבות רבות למודל הבסיס של Galton  ו-Watson.

בעשורים האחרונים זוכים תהליכי סיעוף לפופולאריות רבה במגוון תחומים של מדע והנדסה, החל מכימיה פיסיקאלית וביולוגיה חישובית ועד כלכלה, אפידמיולוגיה וסוציולוגיה, וזאת לאחר הצלחת המודל לניבוי אפקטיבי של גדלים אופיינים (התפלגות גודל אוכלוסיה, סיכוי שרידות/הכחדה, זמן חיים ממוצע ועוד).

בהרצאה נציג תהליכי סיעוף מנקודת מבט קצת פחות ידועה: כיצד ניתן לתאר את התפלגות ההספק של כורים גרעיניים? נתאר (פיסיקאלית ומתמטית) את התכונות והבעיות האופיניות לתהליכי סיעוף בכורים גרעיניים, ואת המודלים והשיטות הקלאסיים לניתוח והתמודדות עם הבעיות (שיטות שאת כולן למדתם בשנתיים הראשונות באוניברסיטה, אבל בעיקר שאלתם את עצמכם ”מה, לעזאזל, עושים אם זה?!?“) .

כמו כן, נציג מספר שאלות פתוחות בעלות חשיבות הנדסית לא זניחה, ונציג ניסיון לפתור את הבעיות על ידי שימוש באחת התורות המתמטיות הבולטות ביותר של המאה ה-20: משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות וחשבון איטו (Ito calculus).

במאה ה-16, מספרים מרוכבים שימשו רק כטריק סודי בידי מתמטיקאי איטלקי, למטרת פתרון משוואות ממעלה שלישית. הם הוצגו כמערכת מספרים מופשטת, עם שימושים בגאומטריה, אלגברה ואנליזה רק בשלב הרבה יותר מאוחר.

המספרים המרוכבים מתקבלים מהממשיים על-ידי פעולה כללית שנקראת שיטת ההכפלה של קיילי–דיקסון. הפעלת השיטה פעמים נוספות נותנת מערכות מספרים נוספות: הקוואטרניונים, שסיפור גילויים דרמטי למדי, והאוקטוניונים, להם נמצאו שימושים בפיסיקה המודרנית.

מה הדמיון ומה השוני בין מערכות המספרים הללו? האם ניתן לייצר מערכות מספרים נוספות המכילות את הממשיים? שאלות אלה ואחרות יידונו בהרצאה

נתחיל את ההרצאה בתזכורת על קבוצות קמורות, פונקציות קמורות, ולמה קמירות זה דבר טוב. נדבר טיפונת על אופטימיזציה, על תכנון מוגדר חיובית למחצה, ועל בעיות אופטימיזציה שאינן תלויות מימד — המביאות אותנו באופן טבעי לחקור את הקמירות בהקשר של משתנים שהם מטריצות ולא סקלרים. נבקר כמה תוצאות, חלקן קלאסיות וחלקן עכשוויות, אשר יראו לנו את ההבדלים המהותיים בין קמירות סקלרית לבין קמירות מטריציאלית ואת ההשלכות מרחיקות הלכת של זו האחרונה. אם יוותר קצת זמן, נאמר כמה מלים על התפתחויות אחרות משני העשורים האחרונים בתחום של ”מתמטיקה לא מתחלפת חופשית“.

תורת ההצגות היא תורה אשר חוקרת ייצוגים של חבורות כאוסף ”סימטריות“ של אובייקט כלשהו. למשל, ניתן להציג חבורה מסוימת כאוסף מטריצות (כלומר, אוסף טרנספורמציות לינאריות על מרחב ווקטורי נתון, אשר סגור תחת כפל והופכי). ייצוג כזה נקרא הצגה של חבורה. נדבר קצת על מבנה ההצגות של חבורות סופיות ולא סופיות, ונראה כיצד מופיעים בתורה זו הילוכים על גרפים ומספרי קטלן.

מה ניתן לומר על ההתפלגות המשותפת של סידרת ניסויים, אם ידוע שאין חשיבות לסדר של הניסויים?

הקשר בין אי-תלות (במובן ההסתברותי) וחילופיות מובע על ידי משפט של ברונו דה-פינטי — הסתברותן ואקטואר איטלקי שחי ועבד במהלך המאה ה-20.

לעיקרון העומד מאחורי משפט זה יש משמעות רבה בהקשר של הסקה סטטיסטית ולמידה, וגם מגוון מפתיע של שימושים וקשרים בתחומים רחוקים לכאורה של המתמטיקה.

בהרצאה נתאר ונסביר את המשפט של דה-פינטי. ניתן ניסוח הקשור לקמירות, ונתאר מספר מסקנות מעניינות, ככל שהזמן יאפשר.