אשנב למתמטיקה Ical Atom

נדון בשאלות אחדות בהקשר לפאזל שחור ופתור — קומבינטוריות, הסתברותיות ואלגוריתמיות.

בהרצאה נתייחס למספר בעיות ספירה שמקורן בתורת המספרים (ספירה של נקודות סריג בתוך גופים, ספירה של פתרונות של משוואות דיופנטיות מעל שדות סופיים) ונראה (לא נוכיח…) איך כלים גיאומטריים מסייעים כבמטה קסם לטיפול בבעיות אלו ולקבלת הערכות מהימנות על תוצאות הספירה. נתהה ביחד, איך הגיאומטריה של הרצף (טופולוגיה וגיאומטריה רימנית) מספקת כלים לפתרון בעיות מתורת המספרים. אם הזמן ירשה נזכיר גם את הבעיה (הפילוסופית ?) הבאה: מה מספרות לנו השגיאות (בהערכת מספר הפתרונות) ?

למה זה שאכילס בסוף משיג את הצב לא מטריד היום (כמעט) אף אחד, אבל את קבוצת כל הקבוצות (שכן או שלא מכילות את עצמן, ובכלל) הדחנו בבושת פנים? למה (רובנו) חיים בשלום עם העובדה שאפשר לחלק כדור לחמש חתיכות, מהן ניתן להרכיב בחזרה שני כדורים זהים לכדור המקורי, ועל מה צריך לוותר מי שזה לא מתאים לו לחיות בעולם מתמטי שבו דבר כזה אפשרי? ולמי זה בכלל משנה אם מונטי הול היה חייב להציע להחליף וילון או לא (ולמה בכלל עדיפה מכונית על פני עז)?

בהרצאה נדון בסוגים שונים של פרדוקסים מתמטים מוכרים (יותר או פחות) ונראה כיצד אלו יכולים לכוון אותנו להבנה מעמיקה יותר של מושגים ”אינטואיטיבים“ כמו אינסוף, שטח, בחירה אקראית וכו‘.

נתחיל את ההרצאה מהמשפט הקלאסי בגיאומטריה אוקלידית הנקרא משפט הפרפר

למשפט הפרפר יש הוכחות שונות ומשונות (נסו להוכיח אותו בעצמכם!) ואנו נתמקד באחת מהן שמתבססת על אלגברה לינארית פשוטה. הניסיון להכליל את השיטה יביא אותנו ללמה על 9 נקודות על עקומים ממעלה שלוש (משפט שאל מ- 1885), וממנה נגיע לדיון בחוק החיבור על עקומים ממעלה שלוש, ביניהם העקומים האליפטיים

בדרך נדבר קצת על המישור הפרויקטיבי, ולקינוח, בנוסף לפיצות כמובן, נקבל את  משפט פסקל

ההרצאה תהיה נגישה ברובה לתלמידי שנה א‘.

גרף (אינסופי בן מנייה) $G=(V,E)$ נקרא אדיר אם לכל שתי תתי קבוצות סופיות $F_1,F_2\subset V$ יש קודקוד $v\in V$ כך ש-$v$ מחובר בצלע לכל קודקוד ב- $F_1$ ולא מחובר בצלע לאף קודקוד ב-$F_2$.

בהרצאה זו נסקור תכונות מעניינות של גרפים אדירים, כמו למשל:

• אם $\Gamma$ הוא גרף אדיר ו-$G$ הוא גרף בן מנייה כלשהו, אז יש תת-גרף מושרה $H\subseteq \Gamma$ כך ש- $H$ איזומורפי ל-$G$.
• אם $\Gamma$ הוא גרף אדיר ו-$f:H_1\to H_2$ איזומורפיזם בין שני תתי-גרפים מושרים סופיים של $\Gamma$, אז יש אוטומורפיזם $\widehat{f}:\Gamma\to \Gamma$ של $\Gamma$ כך ש- $\widehat{f}\upharpoonright H_1 = f$.
• קיים גרף בן מנייה אדיר והוא יחיד עד כדי איזומורפיזם של גרפים. גרף זה נקרא ’’הגרף המקרי‘‘ הוא ’’גרף ראדו‘‘. בהמשך נראה מדוע הוא נקרא הגרף המקרי.

אם יתיר הזמן, נראה שימוש של הגרף המקרי לפתרון שאלה מתוך מאמרם של אסף חסון, מנחם קוג‘מן ואלף אונסהוס בנושא אי-חליקות סימטרית ו/או נציג בנייה שמכלילה את הבנייה של הגרף המקרי למבנים בשפה שרירותית.

מאז גילויים זכו גרפים מרחיבים למגוון עצום של שימושים בענפים שונים של המתמטיקה (מתמטיקה דיסקרטית, תורת החבורות, תורת המספרים וגיאומטריה) ובמדעי המחשב (קודים מתקני שגיאות, תכנון רשתות, דה-רנדומליזציה).

בהרצאה נדון בהגדרות השונות של גרפים מרחיבים, בדרכים לבנות גרפים כאלו ובשימושים שונים של גרפים אלו.

ז‘וזף ברטראן ניסח ב 1845 את השערותו המפורסמת: בין כל מספר טבעי $N>1 $ לבין המספר הכפול $ 2N $, תמיד קיים מספר ראשוני.

ההשערה הוכחה בשנת 1850 על ידי צ׳בישב. פאול ארדוש בהיותו בן 19 פרסם הוכחה אלמנטרית יפה בשנת 1932.

בהרצאה אספר את ההוכחה ואסביר קשר בין התוצאה לבין משפט המספרים הראשונים-אבן היסוד של תורת המספרים האנליטית.

נעיין בשורה של נמלים, כך שכל אחת רצה אחרי הנמלה שלפניה. אם מספר הנמלים הוא סופי אזי יש נמלה ראשונה. שלכאורה אין לה אחרי מי לרוץ, וכולן יגיעו ליעד שהיא קובעת. יותר מעניין אם נניח שהיא רצה אחרי האחרונה בטור. מצב כזה נקרא ”ריצה ציקלית“ ועל פי כללי מהירות טבעיים הן יתכנסו לממוצע של נקודות ההתחלה שלהן. ברם, אם מספר הנמלים הוא אינסופי בן מניה, ולטור אין סוף בשני הכיוונים המצב הרבה יותר מורכב. זה נושא הדיון שלנו.

בשנת 1990 קיבל וון ג‘ונס את פרס פילדס היוקרתי על המצאת פולינום שמבדיל בין הקשרים. בהרצאה נדון באינווריאנטות שונות של קשרים ודרכים לחשב אותן

מדוע אפשר לנוע קדימה ואחורה במרחב, אבל בזמן אנחנו יכולים לנוע רק קדימה?

למה גז מתפשט בחדר ולא קורה אף פעם שגז שמפוזר בחדר מתכנס לתוך מיכל?

אנחנו נשוחח על אוביקט מתמטי שנקרא ”אנטרופיה“ שמגיע מעולם הפיסיקה. נראה כמה שימושים מתמטיים לאנטרופיה, ככל שיתיר הזמן.