פעילויות השבוע

An algebraic vector field is an algebraic variety equipped with a rational section to its tangent bundle, or equivalently a derivation on its function field. The goal of this talk will be to articulate several new results on the birational geometry of algebraic vector fields, obtained using the model theory of differentially closed fields.

השערת היעקוביאן היא אחת ההשערות החשובות בגיאומטריה אלגברית. בהרצאה נציג מספר תוצאות חשובות שהתגלו על ידי מתמטיקאים שניסו לפתור את ההשערה. נסמן את חוג הפולינומים מעל לשדה $k$ ובמשתנים $X_1,\ldots,X_n$ על ידי $k[X_1,\ldots,X_n]$. אחד מהניסוחים המקובלים להשערת היעקוביאן הוא הניסוח הבא:

נניח כי $F:=(F_1,\ldots,F_n)\in{\mathbb{C}[X_1,\dots,X_n]}^n$, העתקה פולינומית $\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^n$ שמקיימת $\det(J(F(Z))\ne 0$ לכל $Z\in\mathbb{C}^n$, אז $F$ חד-חד-ערכית ועל, וההעתקה ההפוכה $F^{-1}$ גם היא פולינומיאלית.

כאן הסימון

היא מטריצת היעקוביאן של ההעתקה $F$ בנקודה $Z=(Z_1,\ldots,Z_n)$. כלומר ההשערה אומרת שהפיכות מקומית של העתקה פולינומיאלית מעל לשדה המספרים המרוכבים מבטיחה הפיכות גלובלית. יתר על כן ההעתקה ההפוכה היא בעצמה פולינומיאלית. אחת התוצאות החשובות שהוכחו אומרת שאם השערת היעקוביאן נכונה להעתקות פולינומיאליות בכל מספר $n$ של משתנים אך רק עבור העתקות שמעלתן האלגברית היא $3$ לכל היותר, אז ההשערה נכונה להעתקות בכל מעלה — כלומר ההשערה נכונה.

תוצאה מעניינת אחרת אומרת שאם העתקה $F$ שמקיימת את תנאי היעקוביאן

היא חד-חד-ערכית על ישר אחד במישור המרוכב, אז היא הפיכה פולינומיאלית, כלומר מקיימת את מסקנת השערת היעקוביאן. תוצאה זו היא בעלת אופי גיאומטרי ומסתמכת על משפט השיכון של Abhyankar–Moh. התוצאה הקודמת קשורה לתיאוריה חשובה שנקראת Algebraic K-Theory. בהרצאה אני מקווה להציג עוד מספר תוצאות עמוקות כאילו.

Two flows are said to be Kakutani equivalent if one is isomorphic to the other after time change, or equivalently if there are Poincare sections for the flows so that the respective induced maps are isomorphic to each other. Ratner showed that if $G=\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$ and $\Gamma$ is a lattice in $G$, and if $u_t$ is a one parameter unipotent subgroup in $G$ then the $u_t$ action on $G/\Gamma$ equipped with Haar measure is loosely Bernoulli, i.e.\ Kakutani equivalent to a circle rotation. Thus any two such systems $(\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})/\Gamma_i, u_t, m_i)$ are Kakutani equivalent to each other. On the other hand, Ratner showed that if $G=\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})\times \operatorname{SL}(2,\mathbb{R})$ and $\Gamma$ is a reducible lattice, and $u_t$ is the diagonally embedded one parameter unipotent subgroup in $G$, then $(G/\Gamma, u_t, m)$ is not loosely Bernoulli.

We show that in fact in this case and many other situations one cannot have Kakutani equivalence between such systems unless they are actually isomorphic.

This is a joint work with Elon Lindenstrauss.

I will discuss a random walk on a metric graph, that is, on a one-dimensional cell complex. The main difference from the often considered case is that the endpoint of a walk can be any point on an edge of a metric graph and not just one of the vertices. Let a point start its motion along the path graph from a hanging vertex at the initial moment of time. The passage time for each individual edge is fixed. At each vertex, the point selects one of the edges for further movement with some nonzero probability. Backward turns on the edges are prohibited in this model. One could find asymptotics for the number N(T) of possible endpoints of such a random walk as the time T increases, i.e. number of all possible lengths of paths on metric graph that not exceed T. Solutions to this problem, depending on the type of graph, are associated with different problems of number theory. An overview of the results, which depend on the arithmetic properties of lengths, will be given as well as review of open problems.