Activities This Week

The size of the smallest $k$-regular graph of girth $g$ is denoted by the well studied function $n(k,g)$. We suggest generalizing this function to $n(H,g)$, defined as the smallest size girth $g$ graph covering the, possibly non-regular, graph $H$. We prove that the two main combinatorial bounds on $n(k,g)$, the Moore lower bound and the Erdos-Sachs upper bound, carry over to the new setting of lifts, even in their non-asymptotic form.

We also consider two other generalizations of $n(k,g)$: i) The smallest size girth $g$ graph sharing a universal cover with $H$. We prove that it is the same as $n(H,g)$ up to a multiplicative constant. ii) The smallest size girth $g$ graph with a prescribed degree distribution. We discuss this known generalization and argue that the new suggested definitions are superior.

We conclude with experimental results for a specific base graph and with some conjectures and open problems.

https://arxiv.org/abs/2401.01238

In this talk, I will discuss isometric dilations of completely contractive representations (in short c.c. representation) of product systems (of $W^∗$-correspondences) over the semigroup $\mathbb{Z}^n_{+}$. It is known that for $n = 1, 2$, c.c. representations of such product systems always have isometric dilations and the result fails for $n > 2$, in general. We will see that under certain positivity and pureness conditions c.c. representations of product systems over $\mathbb{Z}^n_{+}$ have isometric dilations, also we will see an explicit form of the dilations. If time permits, I will discuss some applications of it.

This talk is based on joint work with Monojit Bhattacharjee and Baruch Solel.

אחד המשפטים הבסיסיים באלגברה לינארית אומר שאופרטור לינארי על מרחב וקטורי סוף מימדי הוא חד-חד-ערכי אם ורק אם הוא על. לא קשה לראות שמשפט זה אינו תקף כאשר מדובר במרחבים אינסוף מימדיים, כגון אלה שבהם עוסקת אנליזה פונקציונלית. בהרצאה אדבר על אופרטורי טפליץ: סוג של אופרטורים על מרחבי הילברט אינסוף מימדיים (מרחבי מכפלה פנימית שלמים) שהם “כמעט” חד-חד-ערכיים ו”כמעט” על, במובן שהגרעין שלהם הוא סוף מימדי והם “מפספסים” מרחב סוף מימדי. ההפרש בין המימדים הללו, שנקרא האינדקס של האופרטור, מקודד לפעמים מידע גיאומטרי מעניין, למשל מספר הסיבוב של מסילה. בהרצאה אדון במושגים הללו, וככל שיתיר הזמן, אסביר גם מהו הקונטקסט האלגברי-אנליטי המופשט יותר שבו ניתן להבין אותם.