כל הקורסים ב-2026

• חבורה כסמטריה. דוגמאות: חבורות ציקליות, דיהדרלית, סמטריות. חבורות מטריצות.
• הומומורפיזם. תת חבורות ותת חבורות נורמליות. חבורות מנה. משפט לגרנז‘. משפטי האיזומורפיזם. מכפלה ישרה של חבורות.
• פעולה של חבורה על קבוצה. משפט קיילי.
• אוטומורפיזמים של חבורות.
• משפטי סילו ומיון חבורות מסדר נמוך.
• סדרת הרכב ומשפט ז‘ורדן-הולדר. חבורות פתירות.
• מיון חבורות חילופיות נוצרות סופית.
• חבורה סימטרית וסידרת הרכב שלה.
• חוגים. אידאלים ראשוניים ומקסימליים. תחום שלמות. חוג מנה. משפטי הומומורפיזם.
• אלגברה מולטילינארית: מרחבי מנה. מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים. פעולה על חבורה סמטרית על חזקות טנזוריות. אלגברה סימטרית ואלגברה חיצונית. תבניות מולטילינאריות ודטרמיננטה.
• נושאי רשות: חבורות סימטריות של פאונים משוכללים. חבורות חופשיות. מכפלה חצי-ישרה. תורת ההצגות של חבורות סופיות.

סיגמא-אלגבראות, משפט הרחבת המידה ומידת לבג על הישר, מרחבי מידה כלליים, פונקציות מדידות, תורת האינטגרציה, משפטי התכנסות (משפט אגורוב, התכנסות במידה, כמעט תמיד ובנורמות $L_p$), משפט לוזין, מרחבי $L_p$, מידות במרחבי מכפלה ומשפט פוביני, מידות מסומנות ומרוכבות ופירוק האן, משפט רדון ניקודים ושימושים, גזירה, נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

מבוא למושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות:

מרחבי הסתברות גבולות של מאורעות ורציפות של הסתברות הסתברות מותנה אי-תלות של מאורעות סיגמה-אלגבראות, מרחבים רציפים, ומידת לבג משתנים מקריים והתפלגויות אי-תלות התפלגויות משותפות והתפלגויות מותנות תוחלת שונות ושונות משותפת התכנסות של משתנים מקריים: כמעט-תמיד, Lp, בהסתברות חוק המספרים הגדולים התכנסות בהתפלגות משפט הגבול המרכזי

• חלוקה ופריקות יחידה ב-$\mathbb{Z}$.
• מספרים ראשוניים.
• קונגרואציה.
• שאריות רבועיות.
• שרשים פרמיטיביים.
• שברים משולבים.
• מספרים אלגבריים וקרובים דיאופנטיים
• יסודות תורת המספרים האלגברית

1. חוגים ואידאלים.
2. מודולים. סדרות מדוייקות. מכפלה טנזורית של מודולים.
3. חוגים נטרים ומודולים מעליהם
4. משפט הבסיס של הילברט.
5. מודולים נוצרים סופית מעל תחום אידאילים ראשיים.
6. משפט האפסים של הילברט.
7. יריעות אפיניות.
8. אידיאלים ראשונים ולוקליזציה. פרוק פרימרי.
9. חוגי הערכה בדידה.

1. טרנספורם פורייה: קונבולוציות, נוסחת ההיפוך, משפט פלנשרל, פונקציות הרמיט, דיסטריבוציות. נוסחת הסכום של פואסון. טרנספורם
2. פורייה רב-מימדי. טרנספורם לפלס. קשר לקונבולוציות וטרנספורם פורייה. פולינומי לגר. יחידות ומשפט לרץ‘. שימושים למשוואות דיפרנציאליות רגילות.
3. מיון של משוואות דיפרנציאליון חלקיות מסדר שני: משוואות אליפטיות, היפרבוליות ופרבוליות. משוואות לפלס, הגלים והחום.
4. משוואות אליפטיות: משוואות לפלס ופואסון. בעיות שפה של דיריכלה ונוימן. גרעין פואסון. תכונות של פונקציות הרמוניות, עקרון המקסימום.
5. שיטות אנליטיות לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות: בעיית שטורם-ליוביל ושיטת הפרדת המשתנים בתחום חסום. שימושים למשוואות לפלס, הגלים והחום, לרבות בעיות לא הומוגניות. שימושים של טרנספורם פורייה ולפלס לפתרון בעיות בתחומים לא חסומים.

ביבליוגרפיה

1. Stein E. and Shakarchi R., Fourier analysis, Princeton University Press, 2003. 2. Korner T.W., Fourier analysis, Cambridge University Press, 1988. 3. Katznelson Y., An Introduction to Harmonic Analysis, Dover publications. 4. John, Partial differential equations, Reprint of the fourth edition. Applied Mathematical Sciences, 1. Springer-Verlag, New York, 1991. 5. Evans Lawrence C. Partial Differential Equations, Second Edition. 6. Gilbarg D.; Trudinger N. S. Elliptic partial differential equations of second order, Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Ver lag, Berlin, 2001. 7. Zauderer E. Partial differential equations of applied mathematics, Second edition. Pure and Applied Mathematics (New York). A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1989. xvi+891 pp. ISBN: 0-471-61298-7.

מרחבים מטריים ונורמיים. שקילות הנורמות במרחבים סוף מימדיים. קומפקטיות ומשפט היינה-בורל. התכנסות של סדרות וטורים של פונקציות נקודתית, במידה שווה ובנורמות אחרות. גזירה ואינטגרציה איבר-איבר של טורי פונקציות, שימושים לטורי חזקות. שלמות: שלמות של מרחב הפונקציות הרציפות בקטע סגור ובמרחב מטרי קומפקטי, בוחן $M$ של ויירשטראס. משפט הקטגוריה של בייר, פונקציונלים לינאריים חסומים ומשפט בנך-שטיינהאוס. קומפקטיות במרחבי פונקציות ומשפט ארצלה אסקולי. מבוא לטורי פורייה: סכימת צ‘זרו, קונבולוציות ומשפט פייר. משפט הקירוב של ויירשטראס. התכנסות ב-$L^2$. התכנסות נקודתית, גרעין דיריכלה וקריטריון דיני.

קבוצות פתוחות, סגורות, קומפקטיות במרחב האוקלידי. נורמות מטרציאליות ושקילות הנורמות. גבולות ורציפות בכמה משתנים. מסילות וקשירות מסילתית. נזגרות חלקיות וכווניות, הגרדיינט ומושג הדיפרנציאביליות. משפטי הפונקציה הסתומה, הפתוחה וההפוכה. כופלי לגרנז‘. אופטימיזציה, מטריצת ההסיאן ונקודות קריטיות. אינטגרל רימן הרב-מימדי: משפט פוביני, משפט שינוי המשתנה.

מערכת אקסיומות לתחשיב הפרדיקטים. משפט השלמות ומשפט הקומפקטיות. מבוא לתורת המודלים: משפטי סקולם-לוונהים ותתי מבנים אלמנטריים. כריעות ואי-כריעות של תורות. משפט אי השלמות הראשון של גדל.

מרחבי בנך ומרחבי הילברט. תכונות בסיסיות של מרחבי הילברט. מרחבים וקטורים טופולוגיים. משפט בנך-שטיינהאוס (עקרון החסימות במידה שווה), משפט ההעתקה הפתוחה ומשפט הגרף הסגור. משפט האן-בנך. דואליות. מידות על מרחבים קומפקטיים מקומית, המרחב הדואלי של $C(X)$. טופולוגיות חלשות וחלשות-$*$, משפט בנך-אלאוגלו. קמירות ומשפט קריין-מילמן. משפט סטון-ויירשטראס. אופרטורים קומפקטיים על מרחב הילברט. מבוא לאלגבראות בנך ולתורת גלפנד. נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

• טופולוגית צ‘בוטי על מרחב תתי החבורות הסגורות.
• חבורות מקריות אינוורנטיות, דוגמאות ותכונות בסיסיות.
• הקרקטר של ורשיק
• משפט הצפיפות של בורל וצפיפות גיאומטרית.
• המשפט של קשדו-מרגוליס.
• המשפט של בדר-דושן-לקרו ושימושיו.
• שימושים בקומבינטוריקה: ספירת מעגלים סגורים בגרפים.
• משפט נבו-סטוק-זימר
• משפט שבעת הסמוראים וכמה משימושיו.

הקורס יעסוק ביריעות אלגבריות מעל שדה סגור אלגברית, תוך שימוש בטכניקה של אלומות. סכמות אלגבריות יוזכרו בקצרה. הקורס יכסה את רוב החומר הסטנדרטי, עם מבט לנושאים מתקדמים יותר. תוכן הקורס יותאם לרקע וליכולת של הסטודנטים הרשומים. הקורס ימשיך בסמסטר השני, תחת השם **גיאומטריה אלגברית מודרנית **2. רשימת הנושאים למטה היא עבור שני חלקי הקורס.

רשימת נושאים:

• קטגוריות ופונקטורים (לימוד משולב בנושאים האחרים).
• מרחבים עם אלומות של חוגי פונקציות, כולל דוגמאות לא אלגבריות.
• חזרה על אלגברה קומוטטיבית.
• יריעות אלגבריות אפיניות.
• יריעות אלגבריות פרויקטיביות.
• תכונת המופרדות ויריעות אלגבריות.
• סקירה של סכמות אלגבריות.
• אלומות של מודולים.
• אגדים וקטוריים.
• אגדים קוויים וחבורת פיקאר.
• סוגים של העתקות בין יריעות.
• גיאומטריה אינומרטיבית ומשפט בזו.
• קוהומולוגיה של אלומות.
• חבורות אלגבריות.

1. משטחי רימן, הגדרות בסיסיות. מבנה טופולוגי, חבורה יסודית, (קו)הומולוגיות.
2. פונקציות והעתקות על משטחי רימן.
3. אינטגרציה על משטחי רימן, תבניות דיפרנציאליות, משפט סטוקס.
4. דיויזורים ופונקציות מרומורפיות.
5. עקומות אלגבריות ומשפט רימן-רוך.
6. שימושים ברימן-רוך.
7. משפט אבל או אלומות וקוהומולוגיות שלהן.