כל הקורסים ב-2026

• חבורה כסמטריה. דוגמאות: חבורות ציקליות, דיהדרלית, סמטריות. חבורות מטריצות.
• הומומורפיזם. תת חבורות ותת חבורות נורמליות. חבורות מנה. משפט לגרנז‘. משפטי האיזומורפיזם. מכפלה ישרה של חבורות.
• פעולה של חבורה על קבוצה. משפט קיילי.
• אוטומורפיזמים של חבורות.
• משפטי סילו ומיון חבורות מסדר נמוך.
• סדרת הרכב ומשפט ז‘ורדן-הולדר. חבורות פתירות.
• מיון חבורות חילופיות נוצרות סופית.
• חבורה סימטרית וסידרת הרכב שלה.
• חוגים. אידאלים ראשוניים ומקסימליים. תחום שלמות. חוג מנה. משפטי הומומורפיזם.
• אלגברה מולטילינארית: מרחבי מנה. מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים. פעולה על חבורה סמטרית על חזקות טנזוריות. אלגברה סימטרית ואלגברה חיצונית. תבניות מולטילינאריות ודטרמיננטה.
• נושאי רשות: חבורות סימטריות של פאונים משוכללים. חבורות חופשיות. מכפלה חצי-ישרה. תורת ההצגות של חבורות סופיות.

סיגמא-אלגבראות, משפט הרחבת המידה ומידת לבג על הישר, מרחבי מידה כלליים, פונקציות מדידות, תורת האינטגרציה, משפטי התכנסות (משפט אגורוב, התכנסות במידה, כמעט תמיד ובנורמות $L_p$), משפט לוזין, מרחבי $L_p$, מידות במרחבי מכפלה ומשפט פוביני, מידות מסומנות ומרוכבות ופירוק האן, משפט רדון ניקודים ושימושים, גזירה, נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

מבוא למושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות:

מרחבי הסתברות גבולות של מאורעות ורציפות של הסתברות הסתברות מותנה אי-תלות של מאורעות סיגמה-אלגבראות, מרחבים רציפים, ומידת לבג משתנים מקריים והתפלגויות אי-תלות התפלגויות משותפות והתפלגויות מותנות תוחלת שונות ושונות משותפת התכנסות של משתנים מקריים: כמעט-תמיד, Lp, בהסתברות חוק המספרים הגדולים התכנסות בהתפלגות משפט הגבול המרכזי

• חלוקה ופריקות יחידה ב-$\mathbb{Z}$.
• מספרים ראשוניים.
• קונגרואציה.
• שאריות רבועיות.
• שרשים פרמיטיביים.
• שברים משולבים.
• מספרים אלגבריים וקרובים דיאופנטיים
• יסודות תורת המספרים האלגברית

1. חוגים ואידאלים.
2. מודולים. סדרות מדוייקות. מכפלה טנזורית של מודולים.
3. חוגים נטרים ומודולים מעליהם
4. משפט הבסיס של הילברט.
5. מודולים נוצרים סופית מעל תחום אידאילים ראשיים.
6. משפט האפסים של הילברט.
7. יריעות אפיניות.
8. אידיאלים ראשונים ולוקליזציה. פרוק פרימרי.
9. חוגי הערכה בדידה.

1. טרנספורם פורייה: קונבולוציות, נוסחת ההיפוך, משפט פלנשרל, פונקציות הרמיט, דיסטריבוציות. נוסחת הסכום של פואסון. טרנספורם
2. פורייה רב-מימדי. טרנספורם לפלס. קשר לקונבולוציות וטרנספורם פורייה. פולינומי לגר. יחידות ומשפט לרץ‘. שימושים למשוואות דיפרנציאליות רגילות.
3. מיון של משוואות דיפרנציאליון חלקיות מסדר שני: משוואות אליפטיות, היפרבוליות ופרבוליות. משוואות לפלס, הגלים והחום.
4. משוואות אליפטיות: משוואות לפלס ופואסון. בעיות שפה של דיריכלה ונוימן. גרעין פואסון. תכונות של פונקציות הרמוניות, עקרון המקסימום.
5. שיטות אנליטיות לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות: בעיית שטורם-ליוביל ושיטת הפרדת המשתנים בתחום חסום. שימושים למשוואות לפלס, הגלים והחום, לרבות בעיות לא הומוגניות. שימושים של טרנספורם פורייה ולפלס לפתרון בעיות בתחומים לא חסומים.

ביבליוגרפיה

1. Stein E. and Shakarchi R., Fourier analysis, Princeton University Press, 2003. 2. Korner T.W., Fourier analysis, Cambridge University Press, 1988. 3. Katznelson Y., An Introduction to Harmonic Analysis, Dover publications. 4. John, Partial differential equations, Reprint of the fourth edition. Applied Mathematical Sciences, 1. Springer-Verlag, New York, 1991. 5. Evans Lawrence C. Partial Differential Equations, Second Edition. 6. Gilbarg D.; Trudinger N. S. Elliptic partial differential equations of second order, Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Ver lag, Berlin, 2001. 7. Zauderer E. Partial differential equations of applied mathematics, Second edition. Pure and Applied Mathematics (New York). A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1989. xvi+891 pp. ISBN: 0-471-61298-7.

מרחבים מטריים ונורמיים. שקילות הנורמות במרחבים סוף מימדיים. קומפקטיות ומשפט היינה-בורל. התכנסות של סדרות וטורים של פונקציות נקודתית, במידה שווה ובנורמות אחרות. גזירה ואינטגרציה איבר-איבר של טורי פונקציות, שימושים לטורי חזקות. שלמות: שלמות של מרחב הפונקציות הרציפות בקטע סגור ובמרחב מטרי קומפקטי, בוחן $M$ של ויירשטראס. משפט הקטגוריה של בייר, פונקציונלים לינאריים חסומים ומשפט בנך-שטיינהאוס. קומפקטיות במרחבי פונקציות ומשפט ארצלה אסקולי. מבוא לטורי פורייה: סכימת צ‘זרו, קונבולוציות ומשפט פייר. משפט הקירוב של ויירשטראס. התכנסות ב-$L^2$. התכנסות נקודתית, גרעין דיריכלה וקריטריון דיני.

קבוצות פתוחות, סגורות, קומפקטיות במרחב האוקלידי. נורמות מטרציאליות ושקילות הנורמות. גבולות ורציפות בכמה משתנים. מסילות וקשירות מסילתית. נזגרות חלקיות וכווניות, הגרדיינט ומושג הדיפרנציאביליות. משפטי הפונקציה הסתומה, הפתוחה וההפוכה. כופלי לגרנז‘. אופטימיזציה, מטריצת ההסיאן ונקודות קריטיות. אינטגרל רימן הרב-מימדי: משפט פוביני, משפט שינוי המשתנה.

מערכת אקסיומות לתחשיב הפרדיקטים. משפט השלמות ומשפט הקומפקטיות. מבוא לתורת המודלים: משפטי סקולם-לוונהים ותתי מבנים אלמנטריים. כריעות ואי-כריעות של תורות. משפט אי השלמות הראשון של גדל.

מרחבי בנך ומרחבי הילברט. תכונות בסיסיות של מרחבי הילברט. מרחבים וקטורים טופולוגיים. משפט בנך-שטיינהאוס (עקרון החסימות במידה שווה), משפט ההעתקה הפתוחה ומשפט הגרף הסגור. משפט האן-בנך. דואליות. מידות על מרחבים קומפקטיים מקומית, המרחב הדואלי של $C(X)$. טופולוגיות חלשות וחלשות-$*$, משפט בנך-אלאוגלו. קמירות ומשפט קריין-מילמן. משפט סטון-ויירשטראס. אופרטורים קומפקטיים על מרחב הילברט. מבוא לאלגבראות בנך ולתורת גלפנד. נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

• טופולוגית צ‘בוטי על מרחב תתי החבורות הסגורות.
• חבורות מקריות אינוורנטיות, דוגמאות ותכונות בסיסיות.
• הקרקטר של ורשיק
• משפט הצפיפות של בורל וצפיפות גיאומטרית.
• המשפט של קשדו-מרגוליס.
• המשפט של בדר-דושן-לקרו ושימושיו.
• שימושים בקומבינטוריקה: ספירת מעגלים סגורים בגרפים.
• משפט נבו-סטוק-זימר
• משפט שבעת הסמוראים וכמה משימושיו.

הקורס יעסוק ביריעות אלגבריות מעל שדה סגור אלגברית, תוך שימוש בטכניקה של אלומות. סכמות אלגבריות יוזכרו בקצרה. הקורס יכסה את רוב החומר הסטנדרטי, עם מבט לנושאים מתקדמים יותר. תוכן הקורס יותאם לרקע וליכולת של הסטודנטים הרשומים. הקורס ימשיך בסמסטר השני, תחת השם **גיאומטריה אלגברית מודרנית **2. רשימת הנושאים למטה היא עבור שני חלקי הקורס.

רשימת נושאים:

• קטגוריות ופונקטורים (לימוד משולב בנושאים האחרים).
• מרחבים עם אלומות של חוגי פונקציות, כולל דוגמאות לא אלגבריות.
• חזרה על אלגברה קומוטטיבית.
• יריעות אלגבריות אפיניות.
• יריעות אלגבריות פרויקטיביות.
• תכונת המופרדות ויריעות אלגבריות.
• סקירה של סכמות אלגבריות.
• אלומות של מודולים.
• אגדים וקטוריים.
• אגדים קוויים וחבורת פיקאר.
• סוגים של העתקות בין יריעות.
• גיאומטריה אינומרטיבית ומשפט בזו.
• קוהומולוגיה של אלומות.
• חבורות אלגבריות.

1. משטחי רימן, הגדרות בסיסיות. מבנה טופולוגי, חבורה יסודית, (קו)הומולוגיות.
2. פונקציות והעתקות על משטחי רימן.
3. אינטגרציה על משטחי רימן, תבניות דיפרנציאליות, משפט סטוקס.
4. דיויזורים ופונקציות מרומורפיות.
5. עקומות אלגבריות ומשפט רימן-רוך.
6. שימושים ברימן-רוך.
7. משפט אבל או אלומות וקוהומולוגיות שלהן.

משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.

גרפים ותת גרפים, עצים, קשירות, מסלולי אוילר, מעגלים המילטוניים, זיווגים, צביעות של גרפים, גרפים מישוריים, מבוא לתורת רמזי, גרפים מכוונים, שיטות הסתברותיות ואלגבריות בתורת הגרפים.

מרחבים טופולוגיים ופונקציות רציפות (מרחבי מכפלה, מרחבי מנה ומרחבים מטריים). קשירות וקומפקטיות. תנאי מניה והפרדה (הלמה של אוריסון, משפט המטריזציה של אוריסון, חלוקת קטע היחידה). משפט טיכונוף וקומפקטיפיקציית סטון-צ‘ך. משפטי מטריזציה ופרה-קומפקטיות.

• מספרים מרוכבים. פונצקיות אנליטיות, משוואות קושי-רימן.
• העתקות קונפורמיות, טרנספורמציות מוביוס.
• אינטגרציה. משפט קושי. נוסחת קושי. אפסים, קטבים, פיתוח טיילור, פיתוח לורן. חשבון השאריות.
• משפט ויירשטרס ומשפט מיטג-לפלר. פונקציות שלמות. משפחות נורמליות.
• משפט ההעתקה של רימן. פונקציות הרמוניות, בעיית דיריכלה.

ראה סילבוס באנגלית

• שדות: עובדות בסיסיות ודוגמאות, אפיון (קרקטריסטיקה), שדות ראשוניים
• פולינומים: פריקות, מבחן איזנשטיין, למת גאוס
• הרחבות של שדות: תכונת המגדל, הרחבות אלגבריות וטרנסצנדנטיות, צרוף אבר לשדה
• בניות בסרגל ומחוגה
• סגורים אלגבריים: קיום ויחידות
• שדות פיצול
• הרחבות גלואה: אוטומורפיזמים, נורמליות, ספרביליות, שדות שבת, חבורות גלואה, המשפט היסודי של תורת גלואה
• הרחבות ציקליות
• פתרון משואות פולינומיאליות על-ידי רדיקלים: חבורת גלואה של פולינום, הדיסקרמיננטה, נוסחאת קרנדו-טרטגליאה, חבורות פתירות, משפט גלואה אודות פתירות על-ידי רדיקלים
• שרשי יחידה: הרחבות ציקלוטומיות, הפולינומים הציקלוטומיים ואי-פריקותם
• שדות סופיים: קיום ויחידות, חבורות גלואה מעל שדות סופיים, אברים פרמיטיביים

יריעות דיפרנציאביליות משוכנות במרחב האוקלידי עם שפה. המרחב המשיק, הנורמל, שדות וקטורים. יריעות אוריינטביליות, אוריינטציית הנורמל החיצוני. פירוקי יחידה חלקים. תבניות דיפרנציאליות על יריעות משוכנות. הנגזרת החיצונית. אינטגרציה של תבניות דיפרנציאליות ומשפט סטוקס המוכלל. ניסוחים קלאסיים של מקרים פרטיים (גרדיינט, רוטור ודיברגנץ ומשפטי גרין, סטוקס וגאוס). תבניות סגורות ומדויקות. שדות וקטוריים משמרים וקיום הפוטנציאל. שימושים למשוואות דיפרנציאליות מדויקות. מבוא לגיאומטריה דיפרנציאלית: עקמומיות של עקומים ומשטחים במרחב התלת מימדי, העתקת גאוס משפט גאוס-בונה (אם יתיר הזמן).

משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר $N$, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.

מטרת הקורס להקנות לסטודנטים יכולות התמודדות עם בעיות מתמטיות במגוון נושאים על ידי הכרות עם אסטרטגיות נפוצות לפתרון בעיות מתמטיות. הקורס דורש השתתפות פעילה של הסטודנטים במהלך השיעור וכולל עבודה קבוצתית ופרטנית כאחד. המפגשים יתנהלו כסמינר שבו בתחילה תוצג בעיה קלאסית ופתרונה. תידון האסטרטגיה לפתרון בעיות שעולה מהפתרון ואחר כך יאותגרו המשתתפים להפעיל אסטרטגיה זו בדוגמאות ספציפיות. בנוסף יידונו בעיות/חידות שניתנו כעבודת בית שבועית.

חלק מהחידות והבעיות הקלאסיות הן למעשה נקודות פתיחה לתחומים מתמטיים. נכסה מגוון של טכניקות לפתרון בעיות: ניצול זוגיות (ושיטת השמורות), הליכה מהסוף להתחלה, שובך יונים, בדיקת מקרים קיצונים, מירחוב של בעיות מישוריות, מנייה כפולה, עיקרון השיקוף בקומבינטוריקה ובגיאומטריה, שימוש בטרנספורמציות שונות בהתמודדות עם בעיות גיאומטריות מתוחכמות, שיטות של תכנון דינמי, עקרון האינדוקציה ושיטת הירידות של פרמה לטיפול במשוואות דיופנטיות. שיטת הפונקציות היוצרות. פונקציות אריתמטיות מתורת המספרים. שיקולים הסתברותיים ושימושיהם.

למידה עמוקה, או בשמה העממי: אינטליגנציה מלאכותית, זוכה להצלחה מסחררת בשנים האחרונות. בבסיסה שלה השיטה נמצאים כלים מתמטיים בתחומי האלגברה הלינארית, האופטימיזציה, וההסתברות והסטטיסטיקה מטרת הקורס היא להכין את התלמידים לקורסים מתקדמים בתחום הלמידה העמוקה תוך הכרת הכלים המתמטיים שבבסיס התורה. בנוסף יכלול הקורס מבוא ללמידה עמוקה תוך שימוש בכלים אילו בדוגמאות פשוטות. הקורס ירבה בהדגמות ממוחשבות במערכת Sage מבוססת פייתון, וישמש גם הכנה לשימוש בפייתון בקורסים מתקדמים בלמידה עמוקה. הקורס יתמקד באלגברה לינארית ואופטימיזציה ולכן מומלץ ללמוד קורס בהתסברות ו/או סטטיסטיקה בנוסף. ספר הקורס יהיה הספר: Strang - Linear algebra and learning from data דרישת הקדם לקורס היא שני קורסי האלגברה הלינארית וקורס החדו“א הראשון במתמטיקה, מדעי המחשב או הנדסת חשמל. תלמידי מחלקות אחרות המעונינים ללמוד את הקורס יתקבלו על בסיס פרטני.

תורת הקשיחות של גרפים עוסקת ביציבות המבנית של שיכונים של גרף $G$ ב-$\mathbb{RR^d}$. ניתן לחשוב על שיכון כזה כעל מבנה מכני הבנוי ממוטות קשיחים (הקשתות) המחוברים ביניהם באמצעות מפרקים או צירים (הקודקודים), סביבם הם יכולים להסתובב בחופשיות. השאלה הבסיסית בתורת הקשיחות היא: האם מבנה נתון הוא קשיח או גמיש? כלומר, האם ניתן להזיז את הקודקודים באופן רציף תוך שמירה על כל אורכי הקשתות, ולקבל מבנה שונה מזה שהתחלנו ממנו? (למשל, משולש הוא קשיח, אבל ריבוע ניתן יהיה לשנות באופן רציף למקבילית בעל אותם אורכי קשתות) תורת הקשיחות נמצאת בצומת שבין קומבינטוריקה, גאומטריה ואלגברה, ושורשיה מגיעים לעבודותיהם החלוציות של מקסוול וקושי במאה ה-19. לתיאוריה זו יש יישומים רבים ומגוונים, בין היתר בביולוגיה (מבנה החלבונים), בתורת הבקרה (שליטה על מערכי כלי רכב אוטונומיים), ובהנדסת מבנים. במהלך הקורס נחקור בעיות ותוצאות קלאסיות בתחום, לצד התפתחויות ושיטות חדשות יותר, ונקבל היכרות עם המושגים המרכזיים, השיטות, והשאלות הפתוחות בתחום.

מטרת הקורס היא להציג את נושא הקמירות. קמירות זו תכונה חשובה, שמוצאת שימושים בתחומים רבים במתמטיקה ומחוצה לה. נתחיל בקמירות במרחבים סוף מימדיים. נדבר על תכונות ומשפטים בסיסיים, כמו הפרדה, דואליות, ונקודות קיצון. לאחר, שנקבל קצת כלים, נדבר על אופטימיזציה קמורה. בפרט, נדבר על תחמומים המתוארים על ידי אי-שוויונים מטריציאליים. בחלק האחרון של הקורס נעבור לדיון במימדים אינסופיים. בפרט, נוכיח את משפט שוקה ונראה שימושים. נוכיח את משפט ההפרדה של אדוורד ונראה כמה מסקנות. נדבר על סימפלקסים אינסוף-מימדיים ונראה שימוש לדינמיקה.

הקורס מיועד להכיר לסטודנטים את תחום המתמטיקה השימושית. הוא עוסק בבניית מודלים מתמטיים, ניתוחם ופרשנותם, המבהירים בעיות משמעותיות במדעי הטבע והנדסה. הקורס מיועד לספק חומר מעניין לסטודנטים במתמטיקה, פיזיקה, כימיה והנדסה ברמת תואר ראשון מתקדם ורמת תואר שני- שלישי. מהות המתמטיקה השימושית. מערכות דטרמיניסטיות ומשוואות דיפרנציאליות רגילות. תורת ההפרעות של פואנקרה. תהליכים אקראיים ומשוואות דיפרנציאליות חלקיות. מעבר חום ואנליזת פורייה. אנליזת פורייה מתקדמת וטרנספורמציית פורייה. הליכים בסיסיים במתמטיקה שימושית המודגמים על-ידי משוואות דיפרנציאליות רגילות. היכרות עם תיאוריות של שדות רציפים: תנועת מוט, חומרים רציפים, משוואות שדה של מכניקת הרצף, זרימה לא צמיגה, יסודות תורת הפוטנציאלים.

הקורס הינו המשך של הקורס: גיאומטריה אלגברית מודרנית 1. הקורס יעסוק ביריעות אלגבריות מעל שדה סגור אלגברית, תוך שימוש בטכניקה של אלומות. סכמות אלגבריות יוזכרו בקצרה. הקורס יכסה את רוב החומר הסטנדרטי, עם מבט לנושאים מתקדמים יותר. תוכן הקורס יותאם לרקע וליכולת של הסטודנטים הרשומים. רשימת הנושאים למטה היא עבור שני חלקי הקורס.

רשימת נושאים:

1. קטגוריות ופונקטורים (לימוד משולב בנושאים האחרים).
2. מרחבים עם אלומות של חוגי פונקציות, כולל דוגמאות לא אלגבריות.
3. חזרה על אלגברה קומוטטיבית.
4. יריעות אלגבריות אפיניות.
5. יריעות אלגבריות פרויקטיביות.
6. תכונת המופרדות ויריעות אלגבריות.
7. סקירה של סכמות אלגבריות.
8. אלומות של מודולים.
9. אגדים וקטוריים.
10. אגדים קוויים וחבורת פיקאר.
11. סוגים של העתקות בין יריעות.
12. גיאומטריה אינומרטיבית ומשפט בזו.
13. קוהומולוגיה של אלומות.
14. חבורות אלגבריות.