פעילויות השבוע

הסיפור של השלשות הפיתגוריות הוא עתיק, כפי ששמן מרמז. מדובר בשלשות של מספרים שלמים חיוביים, שהן אורכי הצלעות במשולש ישר זוית, ולכן מקיימות משוואה ריבועית (לפי משפט פיתגורס).

בהרצאה זו נציג שיטה לחישוב כל השלשות הפיתגוריות. כפי שהכותרת רומזת, אנו נשתמש במספרים מרוכבים, בתורת החבורות האבליות, ובתכונות של המספרים הראשוניים.

התוצאה העיקרית שתוצג בהרצאה הינה איפיון מדוייק של כל השלשות הפיתגוריות המצומצמות המסודרות. איפיון זה הוא קונסטרוקטיבי: בעזרתו אפשר לחשב בקלות את כל השלשות הפיתגוריות המצומצמות המסודרות בעלות יתר נתון.

אם הזמן יספיק, אתן הוכחות למשפטים הללו. ההוכחות דורשות ידע מסויים בתורת המספרים, ואני אתן הפניות למקורות.

תוכן ההרצאה אמור להיות מובן לתלמידי תואר ראשון. ניתן לעיין כבר עכשיו בשקפים של ההרצאה

We will talk about a few Galois cohomology classes naturally arising from the fundamental group of a curve.

We will first talk about the Ceresa class, which is the image under a cycle class map of a canonical algebraic cycle associated to a curve in its Jacobian. This class vanishes for all hyperelliptic curves and was expected to be nonvanishing for non-hyperelliptic curves. In joint work with Dean Bisogno, Wanlin Li and Daniel Litt, we construct a non-hyperelliptic genus 3 quotient of the Fricke-Macbeath curve with vanishing Ceresa class, using the character theory of the automorphism group of the curve, namely, PSL_2(F_8).

In joint work with Wanlin Li, Daniel Litt and Nick Salter, we study two Galois cohomology classes (one abelian and one non-abelian), that obstruct the existence of rational points on curves, by obstructing splittings to natural exact sequences coming from the fundamental groups of a curve. An analysis of the degeneration of these classes at the boundary of the moduli space of curves, combined with a specialization argument lets us produce infinitely many curves of each genus over p-adic fields and number fields that have no rational points, explained by the nonvanishing of these obstruction classes. Our arguments give a new proof of Grothendieck‘s section conjecture for the generic curve of genus g > 2.

Let P be a self-conformal measure with respect to an IFS consisting of finitely many smooth contractions of [0,1]. Assuming a mild and natural condition on the derivative cocycle, we prove that the Fourier transform of P decays to zero at infinity. This is related to the highly active study of the properties of the Fourier transform of dynamically defined measures, dating back to the important work of Erdos about Bernoulli convolutions in the late 1930‘s. This is joint work with Federico Rodriguez Hertz and Zhiren Wang.