פעילויות השבוע

I‘ll talk about a class of functions called Log-Noetherian that I recently introduced. They are holomorphic solutions of ”regular-singular“ systems of non-linear algebraic differential equations. They extend an earlier notion of ”Noetherian functions“ considered by Khovanskii and Tougeron, but enjoy better algebraic properties.

The main theorem is that these functions generate an ”effectively o-minimal structure“, meaning that one can give effective upper bounds for the complexity of sets defined by (first-order) formulas involving them - something akin to a Bezout theorem. In particular this proves Khovanskii‘s conjecture from the early eighties on counting solutions for systems of Noetherian equations. This o-minimal structure contains the universal covering maps of Shimura varieties and period maps for variations of Hodge structures, and essentially shows that all applications of o-minimality to these areas are effective. The theory is (currently) archimedean but I‘ll try to stress why I think a p-adic analog should be pursued.

First I shall discuss various models of mathematical billiards and the notion of integrability. Next I shall focus on the so called Birkhoff-Poritsky conjecture, that the only Integrable billiards are circles and ellipses. I shall present several positive results (joint with A. E. Mironov and D. Tsodikovich) for Birkhoff and other type of billiards. If time permits, applications to spectral rigidity will be discussed.

מטילים קוביה שוב ושוב עד שיוצא הרצף ”המנצח“.

שאלה 1: האם ”עדיף“ לחכות לרצף של 6 הטלות קוביה על 6 או לרצף עולה של הטלות מ-1 עד 6?

שאלה 2: נגיד שנתון לנו שהרצף המנצח הופיע ממש עכשיו, אז כמה זמן בממוצע נצטרך לחכות עד להופעה הבאה של הרצף המנצח?

באשנב נדון בשאלות במשפחה של שאלות מסוג זה, נבחן את האינטואציה מול העובדות המתמטיות, ואת ההבדל המהותי בין שתי השאלות. ברקע יעמדו מושגים מתמטיים חשובים מהסתברות ותורה ארגודית: Martingale, ergodicity