פעילויות השבוע

In studying higher dimensional Schrödinger operators of quasicrystals, one is lead to find suitable periodic approximations. This means in particular that the spectrum converges as a set to the limiting spectrum. It turns out that for this to hold, the convergence of the underlying dynamical systems is exactly what is needed. This is the starting point of the present talk.

We focus on aperiodic subshifts defined through symbolic substitutions. These substitution subshifts provide models of aperiodic ordered systems. We find natural sequence candidate of subshifts to approximate the aforementioned substitution subshift. We characterize when these sequences converge, and if so at what asymptotic rate. Some well-known examples of substitution subshifts are discussed during the talk. We will also discuss the motivation for this characterization, arising from an attempt to study higher dimensional quasi-crystals. This is based on a Joint work with Ram Band, Siegfried Beckus and Felix Pogorzelski.

סוליטר בולגרי משוחק באופן הבא: קחו 15 אבנים. וחלקו אותן למספר ערמות, ללא הגבלה כלשהי על מספר הערמות או על הגודל של כל ערמה. עתה קחו אבן אחת מכל ערמה, וצרו ערמה חדשה. קיבלתם חלוקה חדשה של האבנים לערמות. חזרו על התהליך. אחרי מספר סופי של פעמים, בהכרח תחזרו לחלוקה שבה כבר הייתם. החלוקה הזו תהיה תמיד לערמות בגודל 1,2,3,4,5 – וזו חלוקה יציבה שהמשחק לא משנה. תוצאה דומה תתקבל לכל ערמת אבנים מגודל N, עבור N מספר ”משולש“ (מספר שהוא סכום המספרים מ-1 עד k לאיזה k טבעי).

בהרצאה ניתן הוכחה קלה של הטענה הזו, ונדון בשאלות קשורות: מה קורה אם מתחילים את המשחק עם N אבנים למספר שאינו מספר משולש? מהם המחזורים במקרה זה? כמה מחזורים יש? כמה מצבי ”גן עדן“ – מצבים שאין להם מצב קודם – קיימים ועוד.

The lecture will start with a few useful (and probably new!) theorems on adic completion of commutative rings and modules. Then I will discuss derived adic completion, in its two flavors: the idealistic and the sequential. The weak proregularity (WPR) condition on an ideal \a in a ring A, which is a subtle generalization of the noetherian condition on the ring A, is a necessary and sufficient condition for the two flavors of derived completion to agree. WPR occurs often in the context of perfectoid theory, and I will finish the talk with theorems relating WPR to prisms.

Typed notes available soon at the bottom of this web page:

https://sites.google.com/view/amyekut-math/home/lectures