פעילויות השבוע

Horofunction boundaries are a nice way to approach questions about the behavior of metric spaces at infinity and learn about their geodesics. In the case of Cayley graphs of finitely generated groups, they are also fruitful when studying group actions, algebraic properties and geometric properties (such as the growth rate of the group).

The basic construction is the embedding of the group G in a space of 1-Lipschitz functions on it, by the map sending x to the function b_x(y)=d(x,y)-d(x,1_G). This gives a compactification of G and a compact boundary. The elements in the boundary are called horofunctions. Some of the horofunctions (and in some cases, all of them) are realized as limits of geodesic rays in G, and these are called Busemann points.

The boundary depends on the metric on G, so different Cayley graphs can give rise to different (non-homeomorphic) boundaries. Thus, we are interested in finding out which properties of the boundary are invariants of the group, and we are mainly focused on the cardinality in a broad sense (i.e. finite, countable or uncountable boundary) and the existence of a finite orbit under the group action on the boundary.

In this talk we will review quickly the main definitions and examples and then focus on groups with finitely many Busemann points. We will hopefully go through the main steps of proving that a group with finitely many Busemann points in every Cayley graph horofunction boundary are virtually-cyclic, and in that case every horofunction is a Busemann point.

Joint work with Ariel Yadin

בעייה יסודית בתורת המספרים היא להבין את אוסף הפתרונות במספרים רציונליים למשוואה פולינומיאלית בשני משתנים. מסתבר שפתרון הבעייה תלוי באינווריאנטה של המשוואה הקרויה הגנוס. כאשר מספר שלם זה הוא 0 מציאת כל הפתרונות היא משימה קלה מאד. כאשר הגנוס גדול מ-1 משפט מפורסם משנות השמונים של המאה ה-20 מראה שיש רק מספר סופי של פתרונות. מציאת כל הפתרונות היא בעייה קשה מאד.

כאשר הגנוס הוא 1 המשוואה נקראת עקום אליפטי. במקרה כזה ניתן להגדיר על אוסף הפתרונות מבנה של חבורה אבלית בשיטה גאומטרית פשוטה. משפט Mordell–Weil מראה שחבורה זו נוצרת סופית ולפיכך, גם כאשר מספר הפתרונות הוא אינסופי יש מספר סופי של פתרונות בסיסיים אשר מהם אפשר לקבל את כל הפתרונות. נסקור את ההוכחה של משפט זה ואת התורה של גבהים עליה היא מבוססת.

לפי משפט המבנה של חבורות אבליות, החבורה של עקום אליפטי היא מכפלה של מספר עותקים סופי $r$ של החבורה החיבורית של השלמים, ושל חבורת הפיתול, כלומר, אוסף הפתרונות של משוואת העקום שהם מסדר סופי. המספר $r$ נקרא הדרגה של העקום והוא נושאה של ההשערה של Birch Swinnerton-Dyer שהיא אחת מהשערות מליון הדולר המפורסמות של מכון קליי.

נושא מחקרי מעניין אחר הוא חבורת הפיתול. משפט מפורסם של Mazur אומר שלעקום אליפטי מעל המספרים הרציונליים יש לכל היותר 16 נקודות פיתול. ידועות הכללות של המשפט הזה לנקודות של עקומים אליפטיים מעל שדות אחרים.

בשנים האחרונות יש מחקר יותר מעמיק של התנהגות הפיתול של עקום אליפטי. אפשר למשל לשאול במקום האם יש נקודת פיתול מסדר $n$ עם קואורדינטות רציונליות האם קיימת תת חבורה צקלית מסדר $n$ שמוגדרת כולה מעל הרציונליים, כלומר שתת החבורה נשמרת תחת אוטומורפיזם גלואה. עקומים אליפטיים עם מבנה נוסף כזה ממוינים על ידי עקומים מודולריים ולכן הבעייה היא בעצם למצוא נקודות רציונליות על עקומים מודולריים. נסביר מעט על התורה של עקומים מודולריים והקשר שלהם לעקומים אליפטיים, ועל הקשר להשערת פרמה.

עקום מודולרי אחד שהבעייה של מציאת הנקודות הרציונליות עליו התבררה כקשה במיוחד זכה לכינוי ”העקום המקולל“. לפני 4 שנים הצליחו לפתור את הבעייה. באופן מפתיע, לפתרון יש קשר גם לתורת הגבהים.