פעילויות השבוע

I will discuss results and open problems in an emerging theory of ‘canonical’ algebraic cycles for all motives enjoying a certain symmetry. The construction is inspired by theta series, and based on special subvarieties in arithmetic quotients of the complex unit ball. The ‘theta cycles’ seem as pleasing as Heegner points on elliptic curves: (1) their nontriviality is detected by derivatives of complex or p-adic L-functions; (2) if nontrivial, they generate the Selmer group of the motive. This supports analogues of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. I will focus on (2), whose proof combines the method of Euler systems and the local theta correspondence in representation theory.

Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3) used a specific linear recursion that formed a Polynomial Continued Fraction (PCF). Similar PCFs can prove the irrationality of other fundamental constants such as 𝜋 and e. However, in general, it is not known which ones create useful Diophantine approximations and under what conditions they can be used to prove irrationality. Here, we will present theorems and general conclusions about Diophantine approximations created from polynomial recursions. Specifically, we generalize Apéry’s work from his particular choice of PCF to any general PCF, finding the conditions under which a PCF can be used to prove irrationality or to provide an efficient Diophantine approximation. We further propose new conjectures about Diophantine approximations based on PCFs. Our study may contribute to ongoing efforts to answer open questions such as the proof of the irrationality of the Catalan constant or of values of the Riemann zeta function (e.g., ζ(5)).

TBA

כל ילד.ה בגן חובה, או לפחות כל סטודנט.ית שסיימ.ה את החודש הראשון של אינפי 1, יודע.ת כי כל מספר ממשי אי-שלילי הינו ריבוע של מספר ממשי. אם במקום מספרים ממשיים אי-שליליים מסתכלים על פולינומים עם מקדמים ממשיים שכל ערכיהם אי-שליליים, ברור שלא כל פולינום שכזה הוא ריבוע של פולינום עם מקדמים ממשיים. הרי קצת קשה למצוא פולינום שהריבוע שלו יהיה שווה ל- $x^2+4$. אבל לא קשה להראות בעזרת המשפט היסודי של האלגברה כי כל פולינום עם מקדמים ממשיים שכל ערכיו אי-שליליים ניתן לכתוב כסכום של ריבועים של פולינומים עם מקדמים ממשיים.

מה קורה עבור פולינומים בכמה משתנים? ועבור פונקציות רציונליות? שאלות מתימטיות טבעיות אלה העסיקו את מורינו ורבינו דוד הילברט בשלהי המאה ה-19. בהרצאה זו נדבר על התוצאות של הילברט ועל בעיה מס‘ 17 ברשימת הבעיות אשר הוא הציג לקונגרס המתימטי הבינלאומי בפריס ב-1900, וגם על גלגולים של הנושא הזה בעשורים האחרונים, כולל — ככל שיותיר הזמן — תכנון כנף של אחד ממטוסי האיירבוס ותוצאה מרתקת אחת מהקיץ האחרון.