פעילויות השבוע

In 1969, H. Furstenberg proposed a conjecture on dimension of intersections of $\times 2$ and $\times 3$ -invariant sets. We will present some of the steps involved in a recent solution of this conjecture.

The stick principle asserts that there is a family of infinite subsets of $\omega_1$ of size $\aleph_1$ so that any uncountable subset of $\omega_1$ has some member of the family as a subset. We will give a forcing construction to separate versions of the stick principle which put a bound on the order-type of the subsets in the family. Time permitting, we will say a little about the relation of the stick principle with the existence of Suslin trees.

Let G be a locally compact group. For example it could be a discrete group or a Lie group. A random closed subgroup of G, whose distribution is invariant under conjugation by elements of G is called an ”invariant random subgroup of G“ or IRS for short.

IRS turn out to be very useful in a surprisingly wide array of applications even outside of group theory. Yielding significant contributions to a-priori unrelated subjects such as these mentioned in the title.

I will survey some of these developments by stating one theorem in each of these subjects explaining exactly how IRS come into the picture.

אנחנו מכירים זהויות שונות: חוק חילוף לחיבור ולכפל, חוק קיבוץ לחיבור ולכפל, חוק פילוג, חוקים של כפל מקוצר כל אלה והרבה זהויות אחרות מוכרות לנו מבית ספר.

אומרים כי אלגברה (מבנה מתמטי) $A$ היא בעלת בסיס סופי אם הקבוצה של כל הזהויות של $A$ מוגדרת על-ידי קבוצה סופית $B$ של זהויות, ז“א כל זהות של $A$ ניתן להסיק מ-$B$. קיום או אי-קיום של בסיס טוב (סופי, בלתי תלוי) של זהויות הוא איפיון חשוב של מבנה מתמטי וגם עוזר לחישובים.

בעיית הבסיס הסופי של טרסקי היא השאלה על קיום אלגוריתם שמחליט עבור כל אלגברה סופית האם היא בעלת בסיס סופי. יש עוד בעיות מפורסמות על בסיס סופי. אני אסביר בעיות אלה וגם בעיות יותר פשוטות על בסיס סופי של זהויות וגם כמה שיטות הוכחה של קיום ואי-קיום של בסיס סופי של זהויות.