פעילויות השבוע

Since the 1950s, many versions of the partition calculus and arrow notation, introduced by Erdős and Rado, were studied. One such variant, introduced by Baumgartner and recently studied by Caicedo and Hilton, is the closed ordinal Ramsey number. For this variant, we require our homogeneous subset to be both order-isomorphic and homeomorphic to a given ordinal.

In the talk we present an approach with which to tackle this flavour of partition calculus, and if time permits prove some results. The talk is elementary and self-contained.

יהא $f(x_1,\ldots,x_d)$ פולינום בעל מקדמים שלמים, ולכל $m\in\mathbb{N}$ נסמן ב-$\mathcal{N}_m$ את מספר הפתרונות ב-$\left(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\right)^d$ למשוואה $f\equiv 0\pmod{m}$.

אולי לא מאוד מפתיע לגלות כי במקרים רבים ניתן ללמוד הרבה על הסדרה $(\mathcal{N}_m)_{m\in\mathbb{N}}$ מהתבוננות בתתי-סדרות מהצורה $(\mathcal{N}_{p^k})_{k\in\mathbb{N}}$ כאשר $p$ הוא מספר ראשוני כלשהו. עובדה יותר מפתיעה היא כי לפעולה זו של ”התמקדות ב-$p$“ יש השלכות טופולוגיות מרחיקות לכת, המזכירות את התופעות המתרחשות כאשר אנו משלימים את המספרים הרציונליים לממשיים. בפרט, פעולה זו מאפשרת לנו לעבור מהעולם הדיסקרטי של המספרים השלמים אל העולם של המספרים ה-$p$-אדיים, בו ניתן להתמודד עם שאלות מהסוג שהצגנו בעזרת שימוש בכלים גיאומטריים ואנליטיים שלא היו ברשותנו עד כה.

בהרצאה זו נבצע היכרות ראשונית עם המספרים ה-$p$-אדיים ונציג כמה מן הכלים המרכזיים בתורה ודרכים להשתמש בהם לפתרון מגוון בעיות ספירה.