העיקרון הלוקאלי-גלובלי עבור למשוואות דיופאנטיות

משוואה דיופאנטית היא משוואה פולינומיאלית עבורה אנחנו מחפשים רק את הפתרונות הרציונליים או השלמים. השאלה של פתרונות רציונליים היא משמעותית יותר עדינה מהשאלה של פתרונות ממשיים או מרוכבים: יכול להיות מספר אין-סופי של פתרונות ממשיים בלי שום פתרון רציונלי. אם יש פתרונות רציונליים, אפשר להוכיח זאת פשוט על-ידי כתיבת פתרון. לעומת זאת, כיצד מוכיחים שלמשוואה מסויימת אין פתרון רציונלי? הדרך הכי פשוטה לעשות זאת היא להראות שאין פתרונות ב-$Z/nZ$, או שאין פתרונות ממשיים, ולזה קוראים העקרון הלוקאלי-גלובלי. השיטה הראשונה תוביל אותנו למושג של מספרים $p$-אדיים: השלמה של המספרים הרציונליים כמו המספרים הממשיים, אבל ביחס למטריקה אחרת. אם יישאר זמן, נדבר על מה שאפשר לעשות אם השיטות הללו לא עובדות.