מטריצות, דטרמיננטות, פולינומים, וחיות אחרות

תהיינה $A_1,\ldots,A_d$ מטריצות מסדר $n\times n$ מעל ${\mathbb C}$. אזי $\det(I + x_1 A_1 + \cdots + x_d A_d)$ (כאשר $I$ היא מטריצת יחידה מסדר $n\times n$) הוא פולינום במשתנים $x_1,\ldots,x_d$ מדרגה $n$ לכל היותר (והשווה ל-1 ב-0).

בכמה וכמה תחומים מתימטיים טבעי לשאל את השאלה ההפוכה:

בהינתן פולינום ב- $d$ משתנים, האם ניתן להציג אותו בתור דטרמיננטה כנ“ל? ואם כן, האם ניתן לקחת את המטריצות $A_1,\ldots,A_d$ להיות מהסדר הקטן ביותר האפשרי, שהוא דרגת הפולינום?

הבעייה הופכת למעניינת יותר - וקשה הרבה יותר - עם אנו מניחים מגבלות שונות על המטריצות: לדוגמא, שהן תהיינה סימטריות וממשיות, ומגבלות מתאימות על הפולינום.

בהרצאה אני אספר קצת מן הידוע על השאלות האלה, החל מאמצע המאה ה-19 ועד המחקר העכשווי. אנו נתחיל ברמה של אלגברה 2 (שהיא כל אשר נדרש כדי לעקוב אחר ההרצאה), ונראה הבזקים מתחומים שונים, חלקם במתימטיקה עיונית, כגון גיאומטריה אלגברית ותורת האופרטורים, וחלקם במתימטיקה יישומית, כגון אופטימיזציה.