Activities This Week

Given a non elementary locally compact hyperbolic group G equipped with a left invariant metric d one can define a measure on the Gromov boundary called the Patterson Sullivan measure associated to d. This measure is non singular with respect to the G action and contains geometric information on the metric. I will discuss the koopman representations of these actions and sketch a proof of their irreducibility and classification (up to unitary equivalence), generalizing works of Garncarek in the discrete case. I will also describe connections with a recent work of Caprace, Kalantar and Monod on the type I property for hyperbolic groups.

הממוצע החשבוני גיאומטרי $M(a,b)$ של שני מספרים $a,b$ מוגדר כגבול משותף של שתי סדרות מספרים ממשיים: אם $a,b$ הם שני מספרים ממשיים אז “מחליפים אותם” בממוצע הרגיל שלהם $(a+b)/2$ ובממוצע הגיאומטרי שלהם $\sqrt{ab}$ וממשיכים בתהליך ההחלפה. לא קשה להראות שהמספרים מתקרבים זה לזה והגבול המשותף הוא $M(a,b)$.

גאוס שם לב שהמספר הזה קשור לאינטגרלים שקשה מאוד לחשב אותם ובמיוחד להיקף של הלמינסקטה $r^2=\cos(2\phi)$ של ברנולי. נסביר את הקשר הזה וננסה להבין אותו מנקודת מבט מודרנית. בדרך ניפגש עם עקומים אליפטיים ותבניות מודולריות.

With each simple connected graph $G$ with $n$ vertices one can associate a generalized configuration space $Conf_{G}(n,X)$ consisting of $n$ points $(p_1,\ldots,p_n)$ on $X$, with $p_i\neq p_j$ whenever vertices $i$ and $j$ are connected by an edge. For $X=\mathbb{C}$ the generalized configuration space admits a compactification that coincides for a complete graph with Deligne-Mumford compactification of moduli spaces of rational curves with $n$ marked points. The latter is known under the name modular compactification. I will explain what kind of natural algebraic structure exists in the union of these spaces and how one can extract information about the Hilbert series of cohomology rings for different collections of graphs. Surprisingly, the same method can be used to obtain the generating series for different combinatorial data assigned with a graph: such as the number of Hamiltonian paths, Hamiltonian cycles, Acyclic orientations and Chromatic polynomials. The talk is based on the joint work with my student D.Lyskov: https://arxiv.org/abs/2406.05909