Activities This Week

In infinite ergodic theory, absolutely normalized pointwise convergence of ergodic sums fails. Sometimes, this is replacable by weaker modes of convergence. Namely distributional limits and/or weak limits (as in e.g. “rational ergodicity”). We’ll review the subject exhibiting “natural examples” and then see the “latest news” that every random variable on the positive reals occurs as the distributional limit of some infinite ergodic transformation. As a corollary, we obtain a complete exhibition of the possible “$A$-rational ergodicity properties” ($0 < A \le \infty$) for infinite ergodic transformations. The main construction follows by “inversion” from a related construction showing that every random variable on the positive reals occurs as the distributional limit of the partial sums some positive, ergodic stationary process normalized by a 1-regularly varying normalizing sequence.

The “latest news” is joint work with Benjamin Weiss. For further info. see arXiv:1604.03218.

אם $X$ מערכת משוואות אלגבריות עם מקדמים ב-$\mathbb{Z}$, לעיתים קשה מאד לענות על השאלות הכי נאיביות (“אריתמטיות”) לגבי הקבוצה $X(\mathbb{Z})$ של הפתרונות של $X$ ב-$\mathbb{Z}$: האם קיימים אינסוף פתרונות? אם לא, מה הם כל הפתרונות?

לעומת זאת, מסתבר שעל שאלות פחות נאיביות לגבי הגאומטריה של מרחב הפתרונות $X(\mathbb{C})$ ל-$X$ ב-$\mathbb{C}$ דווקא יותר קל לענות. המשפט של זיגל נותן דוגמה ראשונה של קשר עמוק וגדל בין הגאומטריה של $X(\mathbb{C})$ והאריתמטיקה של $X(\mathbb{Z})$, ושל האפשרות להשתמש בגאומטריה לענות על שאלות אריתמטיות