המשפט של זיגל

אם $X$ מערכת משוואות אלגבריות עם מקדמים ב-$\mathbb{Z}$, לעיתים קשה מאד לענות על השאלות הכי נאיביות (”אריתמטיות“) לגבי הקבוצה $X(\mathbb{Z})$ של הפתרונות של $X$ ב-$\mathbb{Z}$: האם קיימים אינסוף פתרונות? אם לא, מה הם כל הפתרונות?

לעומת זאת, מסתבר שעל שאלות פחות נאיביות לגבי הגאומטריה של מרחב הפתרונות $X(\mathbb{C})$ ל-$X$ ב-$\mathbb{C}$ דווקא יותר קל לענות. המשפט של זיגל נותן דוגמה ראשונה של קשר עמוק וגדל בין הגאומטריה של $X(\mathbb{C})$ והאריתמטיקה של $X(\mathbb{Z})$, ושל האפשרות להשתמש בגאומטריה לענות על שאלות אריתמטיות