Activities This Week

I will describe various results, some old and some new, on the structure of the groups of points of an abelian variety over a finite field. The talk will focus on the case of varieties of large dimension over a fixed finite field. In this regime, the Weil bounds allow for the possibility of the exponent of the group staying bounded as the dimension grows. I will explain that at least in the case of Jacobians this cannot be the case. Part of the talk is based on recent joint work with Daniel Keliher.

In this talk, for an ergodic probability preserving system (X,B,m,T), we will discuss the existence of a Z^d valued function , whose corresponding cocycle satisfies the d-dimensional local central limit theorem. As an application, we resolve a question of Huang, Shao and Ye, and Franzikinakis and Host regarding non-convergence in L^2 of polynomial multiple averages of non-commuting zero entropy transformations. We also provide first examples of failure of multiple recurrence for zero entropy transformations along polynomial iterates. This is joint work with Zemer Kosloff.

שדה המספרים הפיאדיים $\mathbb{Q}_p$ (עבור ראשוני $p$) הוא אובייקט מרכזי בתורת המספרים המודרנית, המופיע באופן טבעי. לדוגמה, לפי משפט הסה-מינקובסקי, למשוואה מהצורה $ax^2+by^2+cz^2+dw^2=0$ כאשר $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ יש פיתרון שלם שונה מאפס אם ורק אם יש לה פיתרון ממשי ופיתרון שלם פיאדי לכל ראשוני (ופתרונות אלו שונים מאפס).

בהרצאה זו נבנה את הפיאדיים (הכינו את סדרות $p$-הקושי שלכם), ונראה תכונות מעניינות של שדה זה, הנוגדות את האינטואיציה הממשית שלנו. בהתאם לזמן שיישאר, נראה שימושים ותוצאות בהם הפיאדיים משחקים תפקיד.