Activities This Week

In a joint work with Tattwamasi Amrutam and Eli Glasner, we study intermediate $C^*$-algebras of the form $C^*_r(\Gamma) < \mathcal{A} < C(X) \rtimes \Gamma$, where $\Gamma \curvearrowright X$ is a given minimal action of a countable discrete group $\Gamma$ on a compact space $X$. Every $\Gamma$-factor of the given topological dynamical system $X \rightarrow Y$ gives rise to an intermediate algebra of the form $\mathcal{A} = C(Y) \rtimes \Gamma$, and by analogy we may think of more general factors as representing ‘‘non-abelian’’ factors. Let us call the dynamical system ``reflecting’’ if the only intermediate algebras come from dynamical factors.

We show that another source of intermediate algebras comes from ideals in $C^*_r(\Gamma)$. In particular, we show that if $\Gamma$ is not $C^*$-simple, $X$ admits a $\Gamma$-invariant probability measure, and the cardinality of $X$ is at least $3$, then the system is not reflecting.

In the talk, I will focus on the example highlighted in the title. In this case, we obtain a complete description of all intermediate algebras in terms of some combinatorial data described in terms of ideals in $C^*_r(\mathbb{Z})$. In particular there are uncountably many intermediate algebras, as compared to only countably many dynamical factors. I will show how our description can often be used in order to obtain structural information about the algebras, such as simplicity, the existence of a center, and a closed formula for the algebra generated by two given ones.

לעיתים קרובות במערכות בעולם ישנן כמה פתרונות אפשריים, אבל כל פתרון לבדו אינו אופטימלי. דוגמא שאנו נשתמש בה לצורך המחשה היא טיפול (תרופתי) מסוים למחלה. באופן קלאסי, חולה המגיעה לקבל סדרת טיפולים מקבלת סדרה מאפשרות אחת בלבד של התרופות האפשריות. בשנים האחרונות ישנן רופאות אשר נותנות סדרה של טיפולים מתרופה א, ואחר כך סדרה נוספת מתרופה ב.

אנו נשאל את השאלה כיצד אפשר לשלב שני סוגי טיפול באופן מיטבי (ורציונאלי)? נדגים בשיחה שלנו כיצד הופכים בעיה כזו לבעיה מתמטית, ונראה את הפתרון (היעיל) של הבעיה הזו.

השחקנית המתמטית המרכזית המופיעה בסיפור שלנו נקראת ״שרשרת מרקוב״. אין צורך בידע מוקדם, יש יתרון קטן למי שיודעת כפל מטריצות ו/או הסתברות בסיסית.

A Grassmannian complex is a family of linear subspaces of a given linear space, closed under inclusion. In the talk we will explore the properties of Grassmannian complexes over a finite field and define boundary maps that give rise to notions of connectivity and high dimensional expansion. In contrast to the simplex, where all the homology groups are trivial, the complete Grassmannian (consisting of all subspaces of a given linear space) may have a non-trivial homology, and other exciting phenomena.

We will show analogues to the theorems of Linial, Meshulam and Wallach on the expansion of the complete Grassmannian, and to the phase transition of the connectivity of a random complex.

If time permits, we will discuss related extremal problems and topological overlap.

Based on joint work with Ran Tessler.