Activities This Week

Each complete CAT(0) space has an associated topological space, called visual boundary, that coincides with the Gromov boundary in case that the space is hyperbolic. A CAT(0) group G is called boundary rigid if the visual boundaries of all CAT(0) spaces admitting a geometric action by G are homeomorphic. If G is hyperbolic, G is boundary rigid. If G is not hyperbolic, G is not always boundary rigid. The first such example was found by Croke-Kleiner.

In this talk we will see that every group acting freely and cocompactly on a product of two regular trees of finite valence is boundary rigid. That means that every CAT(0) space that admits a geometric action of any such group has the boundary homeomorphic to a join of two copies of the Cantor set. The proof of this result uses a generalization of classical dynamics on boundaries introduced by Guralnik and Swenson. I will explain the idea of this generalization by explaining a higher-dimensional version of classical North-south-dynamics obtained this way.

This is a joint work with Kasia Jankiewicz, Kim Ruane and Bakul Sathaye.

The radius of comparison of a C-algebra is one measure of the generalization to C-algebras of the dimension of a compact space. Part of the Toms-Winter conjecture says, informally, that a simple separable nuclear unital C*-algebra satisfying the UCT is classifiable if and only if its radius of comparison is zero. Nonzero radius of comparison played a key role in one of the main families of counterexamples to the original form of the Elliott classification program.

It has been known for some time that the radius of comparison of C (X) is, ignoring additive constants, at most half the covering dimension of X. (The factor 1/2 appears because of the use of complex scalars in C*-algebras.) In 2013, Elliott and Niu used Chern character arguments to show that the radius of comparison of C (X) is, again ignoring additive constants, at least half the rational cohomological dimension of X. This left open the question of which dimension the radius of comparison is really related to. The rational cohomological dimension can be strictly less than the integer cohomological dimension, and there are spaces with integer cohomological dimension 3 but infinite covering dimension.

We show that, up to a slightly worse additive constant, the radius of comparison of C (X) is at least half the covering dimension of X. The proof is fairly short and uses little machinery.

A poly disperse fuel spray consist of thousands of droplets in various volumes and shapes. The Combustion of the poly disperse is a chemical process which releases useful thermal energy. The poly disperse fuel droplets are described by a discrete function - the particle (droplet) size distribution (PSD).

Models of the combustion process which accounts for each droplet are im- practicable as they require a considerable amount of computations. As a result, approximations are used to describe the combustion process. The approxima- tions fail to describe the particle PSD adequately.

We propose a simplied theoretical model which allow us to use continuous distribution functions to approximate any PSD (experimental or theoretical) during the combustion process much more accurately then previous ap- proximations. The time depended distribution functions allow us to in- vestigate the dynamics of the poly disperse fuel elegantly and even permit an analytical study. The model provided some new theoretical insights.

Our main results show that during the self-ignition process, the radii of the droplets decreased as expected, and the number of smaller droplets increased in inverse proportion to the radius. An important novel result (visualized by graphs) demonstrates that the mean radius of the droplets initially increases for a relatively short period of time, which is followed by the expected decrease.

בהנתן מרחב מטרי קומפקטי $X$ (או האוסדורף קומפקטי באופן כללי יותר), אוסף הפונקציות הרציפות עם ערכים מרוכבים מהווה מרחב בנך (כלומר מרחב וקטורי עם נורמה, שהוא שלם ביחס לנורמה הזו), אך יתר על כן ניתן להכפיל בו את הפונקציות, ולכן יש לו מבנה של חוג (או ליתר דיוק אלגברה - מרחב וקטורי שהוא גם חוג). מסתבר שניתן לשחזר את כל התכונות של המרחב $X$ מתוך התכונות של של המבנה האלגברי-טופולוגי הזה. למשל, ניתן לזהות בין נקודות במרחב לבין אידאלים מקסימליים במרחב $X$.

בשנות ה-50׳, עבודה עמוקה של המתמטיקאים גלפנד ונאימרק הגדירה מערכת אקסיומות של אלגבראות שהן פונקציות רציפות על מרחבים האוסדורף קומפקטיים. אלגברה שמקיימת את האקסיומות האלה נקראת אלגברת $C^*$ קומוטטיבית. למעשה, תורה זו נותנת איפיון שקול למושג של מרחב טופולוגי האוסדורף קומפקטי.

כמובן, כפל נקודתי של פונקציות יהיה קומוטטיבי. אולם מסתבר שאם מוותרים על אקסיומה זו, מקבלים משפחה מאד טבעית של אובייקטיים אלגבריים-טופולוגיים, שעולים באופן טבעי במתמטיקה. למשל, האלגברה של המטריצות הריבועיות מגודל מסוים תהיה דוגמא לאלגברת $C^*$ לא קומוטטיבית, ולמעשה אלגבראות כאלה אף עלו באופן טבעי בעבודה של פון-נוימן ומורי שעלו מתוך ביסוס היסודות המתמטייים של תורת הקוונטים, כמו גם בחקר של תורת ההצגות של חבורות.

בסביבות שנות ה-70׳ וה-80׳, בין היתר בשל עבודותיו של המתמטיקאי זוכה מדליית פילדס אלן קון ואחרים, התגבשה התובנה שאם אלגבראות $C^*$ קומוטטיביות הן בעצם תיאור שקול של מרחבים טופולוגיים, אז יש לחשוב על אלגבראות $C^*$ כלליות כעל הכללה של מושג המרחב הטופולוגי, ולהכליל שיטות מטופולוגיה לתחום זה.

מאחר שמדובר בתחום מחקר מופשט, שמשלב בתוכו מושגים מאנליזה, טופולוגיה ואלגברה, אי אפשר יהיה להציג משפטים ובעיות מחקריות עדכניות בהרצאה זו. לכן, בהרצאה אתמקד בהסבר מדויק יותר של חלק מהמושגים שצוינו לעיל, וכן אנסה לתת מספר דוגמאות לאלגבראות $C^*$, הכללה של כלים טופולוגיים למקרה זה, ואולי אציין בקצרה כיווני מחקר מסוימים שמעניינים אותי בימים אלה, אם יתאפשר.