Activities This Week

I will discuss my joint work with Fu-Tsun Wei from Tsing Hua University in Taiwan.

Let $K$ be the completion of $\mathbb{F}_q(T)$ at $1/T$ and $r\geq 2$ be an integer. In an ongoing project, we study modular units on the Drinfeld symmetric space $\Omega^r$ over $K$, harmonic cochains on the edges of the Bruhat-Tits building of $PGL_r(K)$, and the cuspidal divisor groups of certain Drinfeld modular varieties of dimension $r-1$. In particular, we obtained a higher dimensional analogue of a well-known result of Ogg for classical modular curves $X_0(p)$ of prime level.

In 1987, Burton and Denker proved the remarkable result that in every aperiodic dynamical system (including irrational rotations for example) there is a square integrable, zero mean function such that its corresponding time series satisfies a CLT. Subsequently, Volny showed that one can find a function which satisfies the strong (almost sure) invariance principle. All these constructions resulted in a non-lattice distribution.

In a joint work with Dalibor Volny we show that there exists an integer valued cocycle which satisfies the local limit theorem.

הסיפור של השלשות הפיתגוריות הוא עתיק, כפי ששמן מרמז. מדובר בשלשות של מספרים שלמים חיוביים, שהן אורכי הצלעות במשולש ישר זוית, ולכן מקיימות משוואה ריבועית (לפי משפט פיתגורס).

בהרצאה זו נציג שיטה לחישוב כל השלשות הפיתגוריות. כפי שהכותרת רומזת, אנו נשתמש במספרים מרוכבים, בתורת החבורות האבליות, ובתכונות של המספרים הראשוניים.

התוצאה העיקרית שתוצג בהרצאה הינה איפיון מדוייק של כל השלשות הפיתגוריות המצומצמות המסודרות. איפיון זה הוא קונסטרוקטיבי: בעזרתו אפשר לחשב בקלות את כל השלשות הפיתגוריות המצומצמות המסודרות בעלות יתר נתון.

אם הזמן יספיק, אתן הוכחות למשפטים הללו. ההוכחות דורשות ידע מסויים בתורת המספרים, ואני אתן הפניות למקורות.

תוכן ההרצאה אמור להיות מובן לתלמידי תואר ראשון. ניתן לעיין כבר עכשיו בשקפים של ההרצאה