Activities This Week

The Katz-Litt theorem gives an explicit recipe to describe Vologodsky integration on curves with semi-stable reduction in terms of Coleman integration on on the rigid analytic domains reducing to the smooth components of the reduction. In work with Mueller and Srinivasan we gave an alternative recipe, more closely related to our past work with Zerbes, which was proved to follow from the Katz-Litt theorem by Katz. In this talk I will describe this alternative recipe and prove it directly. This new proof is significantly simpler than the original proof.

Let F be a free group and K a field. The free group algebra K[F] bears a strong resemblance to F, making it an excellent tool in the study of free groups. For example, by a theorem due to Cohn and Lewin, one-sided ideals in K[F] are free as K[F]-modules, analogously to the Nielsen-Schreier theorem. I will discuss this resemblance, along with other motivations for our interest in K[F] arising from the theory of word measures. I will then present a new algorithm for deciding if a given element is part of some basis of a given ideal, similarly to what Whitehead’s algorithm performs in free groups. Based on joint work with Danielle Ernst-West and Doron Puder.

קטגוריה היא אובייקט מתמטי שמכיל מידע על אוסף של אובייקטים מתמטיים מאותו סוג, והקשרים ביניהם, כאשר התפיסה היא שהקשרים הללו כולם ניתנים לביטוי באמצעות ההעתקות ביניהם. דוגמאות כוללות את אוסף כל המרחבים הוקטוריים מעל שדה נתון (עם העתקות לינאריות), אוסף החבורות, אוסף המרחבים הטופולגיים וכדומה (כל אחת עם המבנה הטבעי של העתקה). לעתים נקודת המבט הקטגורית מאפשרת להוכיח משפטים, אבל התרומה העיקרית שלה היא בתור עקרון מארגן, שמאפשר לבטא במדויק את התכונות הטבעיות של בניות מסוימות, ואת הדמיון ביניהן בקטגוריות השונות.

בהרצאה אני אשתדל להראות פנים שונות של העקרונות הללו, בעיקר באמצעות דוגמאות ואנאלוגיות.