Activities This Week

In his foundational work, Arveson extended the classical boundary theory for function algebras to the non-commutative world. His theory provided us with analogues of Shilov and Choquet boundaries which, classically, are certain “smallest” subsets for which the maximum modulus principle holds. Arveson’s theory has had a profound influence in the fields of operator theory and operator algebras, leading up to the resolution of several problems in dilation theory, approximation theory, C*-simplicity, and the structure theory of operator algebras.

In this talk I will survey Arveson’s boundary theory, leading up to his last major open conjecture known as Arveson’s hyperrigidity conjecture. This conjecture roughly states that if the Choquet boundary coincides with the whole spectrum of the generated C-algebra, then nets of unital completely positive maps which converge to the identity on generators must converge to the identity on the whole generated C-algebra. We will showcase a counterexample with a separable type I C*-algebra.

All necessary motivation and background will be provided throughout the talk, and the construction of the counterexample will be clear (at least) to undergraduate students who have taken an advanced course in functional analysis.

Based on joint work with Boris Bilich

בהרצאה נדון בבעיה השלישית של הילברט. בעיה זו, יחד עם עוד 22 בעיות, הוצגה ע”י דוד הילברט בקונגרס הבינלאומי השני שהתקיים בפריס בשנת 1900. הבעיות של הילברט עיצבו במידה רבה את התפתחות המתמטיקה במאה ה- 20. חלקן נפתרו וחלקן פתוחות עד היום. מבין כל הבעיות, הבעיה השלישית נפתרה ראשונה, תוך שנה אחת בלבד, ע”י תלמידו של הילברט - מקס דן.

ההרצאה תתחיל ממבוא, בו נלמד רעיונות בסיסיים הנחוצים לפתרון הבעיה השלישית. לאחר מכן נדון בגרסה הדו-מימדית של הבעיה (משפט בויאי-גרווין-וולאס), נבנה את שמורת דן, ונראה את הפתרון של הבעיה השלישית של הילברט. ננעל את ההרצאה בדיון בזק במכפלות טנזוריות של מרחבים וקטוריים והקשר בינן לבין הבעיה השלישית. רוב ההרצאה מתאימה גם לתלמידי שנה א’.

I will begin with a tour of classical ideas in geometric representation theory including Kazhdan-Lusztig polynomials and Beilinson-Bernstein localization. Then I will delve into a logical continuation of these ideas in the work of Bezrukavnikov on exotic t-structures. Finally I will explain an application of these ideas to finding explicit character formulas for affine Lie algebras in our joint work with Andrei Ionov and Vasily Krylov.