Activities This Week

A number field is monogenic if its ring of integers is generated by a single element. It is conjectured that 0% of degree d number fields are monogenic (for any d > 2). There are local obstructions that force this proportion to be < 100%, but beyond this very little is known. I’ll discuss work with Alpoge and Bhargava showing that a positive proportion of cubic fields (d = 3) have no local obstructions and yet are still not monogenic. This uses new results on integral points and ranks of Selmer groups of elliptic curves in twist families.

The cutoff phenomenon of random walks on graphs is conjectured to be very common. However, it is unknown whether many natural examples of large graphs of fixed degree satisfy this phenomenon. It was recently shown by Lubetzky and Peres that Ramanujan graphs, i.e., graphs with the optimal spectrum, exhibit cutoff of the simple random walk in optimal time. We show that the spectral condition can be replaced by a weaker spectral condition, based on the work of Sarnak and Xue in automorphic forms. This property is also equivalent to a geometrical path counting property, which can be verified in some cases. As an example, we show that the theorems hold for some families of Schreier graphs of the $SL_2(F_p)$ action on the projective line, for a finite field $F_p$. Based on joint work with Konstantin Golubev.

In this talk we give an introduction to (real) infinite dimensional moment problems, i.e. for measures supported on real infinite dimensional spaces. We will focus on the following problem: when can a linear functional on a unital commutative real algebra A be represented as an integral w.r.t. a Radon measure on the real character space X(A) equipped with the Borel σ-algebra generated by the weak topology? Our main idea is to construct X(A) as a projective limit of the character spaces of all finitely generated subalgebras of A, to be able to exploit the classical finite dimensional moment theory in the infinite dimensional case. We thus obtain existence results for representing measures defined on the cylinder σ-algebra on X(A), carried by the projective limit construction. If in addition the well-known Prokhorov (ε-K) condition is fulfilled, then we can solve our problem by extending such representing measures from the cylinder to the Borel σ-algebra on X(A). These results allow us to establish e.g. infinite dimensional analogues of the classical Riesz-Haviland.

Our work was motivated by the paper [Ghasemi-Kuhlmann-Marshall: Moment problem in infinitely many variables, Israel Journal of Mathematics, Volume 212, 989-1012 (2016) ] where the case when A is the algebra of real polynomials in infinitely many variables is considered. Our projective limit technique provides alternative proofs to the results of [GKM2016].

(Joint work with Maria Infusino, Tobias Kuna and Patrick Michalski)

A number of of important results in modern mathematics involve an understanding the space of invariant probability measures for a homeomorphism, a flow, or group of homeomorphisms.

In this talk we will focus on finding situations where the space of invariant probability measures is essentially ``as big as possible’’: A topological dynamical system is $(X,S)$ \emph{universal} in the ergodic sense if any measure preserving system $(Y,T,\mu)$, there exists an S-invariant probability measure $\nu$ so that $(X,S,\nu)$ is isomorphic to $(Y,T,\mu)$ as measure preserving systems, assuming that the entropy of (Y,T,\mu) is strictly lower than the topological entropy of $(X,S)$. Krieger’s generator theorem (1970) states that the shift map on the space bi-infinite of $N$-letter sequences is universal. Lind and Thouvenot (1977) used Kreiger’s theorem to prove that Measure-preserving homeomorphisms of the torus represent all finite entropy ergodic transformations. Recent conditions for universality of Soo-Quas (2016) and David Burguet (2019) imply that any ergodic automorphism of a compact group is universal. Together with Nishant Chandgotia we recently established a new and more general sufficient condition for ergodic universality.

Some new consequences include: - A generic homeomorphism of a compact manifold (having dimension at least 2) can model any aperiodic measure preserving transformation. - Any aperiodic measure preserving transformation can be modeled by a homeomorphism of the 2-torus which preserves Lebesgue measure. - The space of 3-colorings of the standard Cayley graph of $\mathbb{Z}^d$, with $\mathbb{Z}^d$ acting by translations is universal.
In this talk I will discus and explain some of the older and newer results. No specific background in ergodic theory will be assumed.

ניזכר בכמה הגדרות. עבור אופרטור לינארי $T:\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ מגדירים את הנורמה $\|T\| = \sup\{\|Tv\| : \|v\|=1\}$. ניתן להגדיר באופן דומה נורמה על אופרטורים על מרחבים אינסוף מימדיים גם כן.

אופרטור $P$ נקרא אופרטור הטלה אם $P=P^* = P^{2}$ ואופרטור $U$ נקרא אופרטור אוניטארי אם $U^* = U^{-1}$

לגבי כל תכונה של אופרטורים מסוג זה, אפשר לשאול עד כמה היא “גמישה”. כלומר, נניח שיש אופרטור ש”כמעט” מקיים את התכונה. האם יש אופרטור שקרוב אליו שכן מקיים את התכונה? באופן מדויק יותר, למשל, בהינתן $\varepsilon>0$ האם קיים $\delta>0$ כך שלכל אופרטור $T$, אם $\|T-T^*\|<\delta$ ו-$\|T-T^2\|<\delta$ אז קיימת הטלה $P$ כך ש-$\|P-T\|<\varepsilon$. שימו לב שהמספר $\delta$ אינו תלוי ב-$n$. זהו תרגיל באלגברה לינארית, ואתם יכולים לנסות לפתור אותו בעצמכם לפני ההרצאה. כנ”ל השאלה האנלוגית עבור אופרטורים אוניטאריים.

השאלה שנדון בה נוגעת לזוג אופרטורים. נניח שיש לנו זוג אופרטורים אוניטאריים שכמעט מתחלפים, כלומר $\|UV-VU\|$ קטן. האם הם קרובים לזוג אופרטורים אוניטאריים שמתחלפים ממש?

בשנות ה-80’, המתמטיקאי Voiculescu הראה שהתשובה היא שלילית: ישנם אופרטורים אוניטאריים שקרובים כרצונכם להתחלף אך אינם קרובים לאופרטורים אוניטאריים שמתחלפים בדיוק. ניתן לתת לכך הוכחה די פשוטה וישירה, שאנסה להציג בקצרה. אך מעניין יותר להבחין כי בעיה זו מתקשרת לסוגיות עמוקות יותר בטופולוגיה ואלגבראות של אופרטורים. ככל שיתיר הזמן, אנסה לקשר את השאלה לאלגבראות $C^*$, תורת $K$ ואגדים וקטוריים, ו”כמעט הצגות” של חבורות, אך לא אניח ידע מוקדם בנושא זה.

כדאי לפני ההרצאה להזכיר לעצמכם מספר מושגים מאלגברה לינארית: מכפלה פנימית, נורמה מטריצאלית, אופרטורים אוניטאריים, נורמליים, צמודים לעצמם והטלות והפירוק הפולארי, וכן מה ההגדרה של מרחב הילברט.