אקסיומת הבחירה: שק ההפתעות של צרמלו

In mathematics you don‘t understand things. You just get used to them.
(ג‘ון פון נוימן)

מספר אינסופי (נאמר, בן מניה) של אנשים נכנסים לחדר (גדול מספיק להכיל את כולם) וכל אחד נושא על גבו מספר ממשי. המשתתפים יכולים לראות את כל המספרים שנושאים האחרים – אך, כמובן, לא את המספר על גבם. אחד אחד השחקנים מוצאים מן החדר, וכל אחד בתורו מנחש מה המספר הכתוב על גבו. בתכנון מוקדם – ומבלי לתקשר ביניהם מרגע תחילת המשחק – מצליחים כל השחקנים, פרט למספר סופי, לנחש נכון את המספר.

מהי האסטרטגיה, כיצד יתכן שאסטרטגיה כזו בכלל קיימת? האין כאן סתירה לחוקי ההסתברות?

אקסיומת הבחירה היא חרב הפיפיות המפורסמת ביותר במתמטיקה: מעטים העקרונות המתמטים שלהם מגוון כה רחב של שימושים והשלכות עמוקים ומרחקי לכת כמו לאקסיומת הבחירה; אך יש לה גם השלכות כה מפתיעות שעוררו בעבר (ובמידה פחותה גם היום) ויכוחים סוערים בדבר תקפותה וסבירותה.

בהרצאה נציג את אקסיומת הבחירה ובודדים מבין מאות הניסוחים הידועים כיום כשקולים לה. נסקור כמה מן השימושים החשובים של האקסיומה, ונדון ב“פרדוקסים“ שהיא מעוררת. אם יתיר הזמן, נראה שגם ללא אקסיומת הבחירה המתמטיקה בהחלט עדיין יכולה להפתיע.