המספרים ה-$p$-אדיים ושימושיהם לפתרון בעיות ספירה

יהא $f(x_1,\ldots,x_d)$ פולינום בעל מקדמים שלמים, ולכל $m\in\mathbb{N}$ נסמן ב-$\mathcal{N}_m$ את מספר הפתרונות ב-$\left(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\right)^d$ למשוואה $f\equiv 0\pmod{m}$.

אולי לא מאוד מפתיע לגלות כי במקרים רבים ניתן ללמוד הרבה על הסדרה $(\mathcal{N}_m)_{m\in\mathbb{N}}$ מהתבוננות בתתי-סדרות מהצורה $(\mathcal{N}_{p^k})_{k\in\mathbb{N}}$ כאשר $p$ הוא מספר ראשוני כלשהו. עובדה יותר מפתיעה היא כי לפעולה זו של ”התמקדות ב-$p$“ יש השלכות טופולוגיות מרחיקות לכת, המזכירות את התופעות המתרחשות כאשר אנו משלימים את המספרים הרציונליים לממשיים. בפרט, פעולה זו מאפשרת לנו לעבור מהעולם הדיסקרטי של המספרים השלמים אל העולם של המספרים ה-$p$-אדיים, בו ניתן להתמודד עם שאלות מהסוג שהצגנו בעזרת שימוש בכלים גיאומטריים ואנליטיים שלא היו ברשותנו עד כה.

בהרצאה זו נבצע היכרות ראשונית עם המספרים ה-$p$-אדיים ונציג כמה מן הכלים המרכזיים בתורה ודרכים להשתמש בהם לפתרון מגוון בעיות ספירה.