Activities This Week

Let F be a free group and K a field. The free group algebra K[F] bears a strong resemblance to F, making it an excellent tool in the study of free groups. For example, by a theorem due to Cohn and Lewin, one-sided ideals in K[F] are free as K[F]-modules, analogously to the Nielsen-Schreier theorem. I will discuss this resemblance, along with other motivations for our interest in K[F] arising from the theory of word measures. I will then present a new algorithm for deciding if a given element is part of some basis of a given ideal, similarly to what Whitehead’s algorithm performs in free groups. Based on joint work with Danielle Ernst-West and Doron Puder.

קטגוריה היא אובייקט מתמטי שמכיל מידע על אוסף של אובייקטים מתמטיים מאותו סוג, והקשרים ביניהם, כאשר התפיסה היא שהקשרים הללו כולם ניתנים לביטוי באמצעות ההעתקות ביניהם. דוגמאות כוללות את אוסף כל המרחבים הוקטוריים מעל שדה נתון (עם העתקות לינאריות), אוסף החבורות, אוסף המרחבים הטופולגיים וכדומה (כל אחת עם המבנה הטבעי של העתקה). לעתים נקודת המבט הקטגורית מאפשרת להוכיח משפטים, אבל התרומה העיקרית שלה היא בתור עקרון מארגן, שמאפשר לבטא במדויק את התכונות הטבעיות של בניות מסוימות, ואת הדמיון ביניהן בקטגוריות השונות.

בהרצאה אני אשתדל להראות פנים שונות של העקרונות הללו, בעיקר באמצעות דוגמאות ואנאלוגיות.

The Effective Siegel Problem aims to explicitly construct, in finite computation, a complete list of integral points on a given affine hyperbolic curve. Recent advances on this problem include the groundbreaking methods of Chabauty–Kim and Lawrence–Venkatesh. Both approaches study the variation of Hodge structures on bundles associated with the hyperbolic curve of interest, yet each has distinct strengths and limitations. The Chabauty–Kim method, while conditioned on the Bloch–Kato conjecture, has successfully facilitated effective computation of integral points on various curves. Conversely, the Lawrence–Venkatesh method is unconditional but has not yet been practically applied to compute integral points for any specific curve. Kantor’s thesis was a promising initial effort toward bridging these two methods, aiming to combine their strengths through the theory of relative completions. In joint work with David Corwin, titled “The Unipotent Chabauty–Kim–Kantor Method for Relative Completions,” we present the first genuine synthesis of these powerful methods.

In this talk, we will briefly review previous developments to highlight our contribution as a natural progression toward a unified framework. We will introduce the concept of relative completions, outline Kantor’s initial approach, and then discuss our variant method, which resolves several key limitations identified in Kantor’s work. Our main result reduces the problem of Diophantine finiteness to a dimension inequality involving a pair of algebraic spaces—one arithmetic and the other geometric. If time permits, we will derive this dimension inequality explicitly for modular curves under the Bloch–Kato conjecture.