Activities This Week

The projective finitistic dimension of a ring is an important homological dimension which measures the complexity of homological algebra over it. The finitistic dimension conjecture which says that this invariant is finite for artin algebras is considered to be one of the most important open problems in homological algebra. In this talk we discuss this conjecture, its importance and connection to other important conjectures. We then show how by using DG-ring techniques, and the noncommutative covariant Grothendieck duality, it is possible to connect this conjecture to the global structure of injective modules in the unbounded derived category of the ring. This generalizes work of Rickard from finite dimensional algebras over a field to all noetherian rings which admit a dualizing complex.

40 years after the discovery of quasicrystals, the mathematical theory around these objects is currently entering into a new phase. While the original goal of mathematical modelling of quasicrystalline materials has largely been achieved, many open questions remain.

One fundamental insight from the early days of quasicrystals is that questions about discrete structures can be attacked by methods from dynamical systems, ergodic theory and harmonic analysis. Over the last decade, attempts were made to use this dynamical approach in a broader context, for example to study quasicrystal-like discrete structures in non-Euclidean geometries. This has created new connections to different areas of mathematics, including rigidity theory of lattices, quasimorphisms, model theory, and non-abelian harmonic analysis, which as a byproduct also provide us with new tools to study classical problems. At the same time, recent progress in the theory of point processes has also lead to the discovery of new phenomena concerning classical quasicrystals, for example some surprising connections to diophantine approximation.

We thus believe that it is a good time to take another look at the classical theory of quasicrystals and see what modern methods have to say about some of the classical problems in the area. We will start from the early beginnings of the theory and then point out a few of the many recent discoveries.

משוואה דיופאנטית היא משוואה פולינומיאלית עבורה אנחנו מחפשים רק את הפתרונות הרציונליים או השלמים. השאלה של פתרונות רציונליים היא משמעותית יותר עדינה מהשאלה של פתרונות ממשיים או מרוכבים: יכול להיות מספר אין-סופי של פתרונות ממשיים בלי שום פתרון רציונלי. אם יש פתרונות רציונליים, אפשר להוכיח זאת פשוט על-ידי כתיבת פתרון. לעומת זאת, כיצד מוכיחים שלמשוואה מסויימת אין פתרון רציונלי? הדרך הכי פשוטה לעשות זאת היא להראות שאין פתרונות ב-$Z/nZ$, או שאין פתרונות ממשיים, ולזה קוראים העקרון הלוקאלי-גלובלי. השיטה הראשונה תוביל אותנו למושג של מספרים $p$-אדיים: השלמה של המספרים הרציונליים כמו המספרים הממשיים, אבל ביחס למטריקה אחרת. אם יישאר זמן, נדבר על מה שאפשר לעשות אם השיטות הללו לא עובדות.