Activities This Week

In my seminar talk on 29.12.2015, I introduced the notion of quasi-ordered fields, proved Fakhruddin’s dichotomy. In this talk, I will present a version of a classical theorem in real algebra (the Baer-Krull theorem) for quasi-ordered fields.

The context for this series of talks is the topic of an action $\alpha$ of a locally compact abelian group $G$ on a C*-algebra $A$, and the resulting properties of the crossed product of $A$ by $G$. In the first two talks, we will lead up to the definition of the strong Connes spectrum of the action $\alpha$, and discuss elements of the multiplier algebra of the crossed product which are integrable with respect to the dual action.

The goal for the final talk on this topic is to discuss the proof of the following result:

Theorem (Kishimoto, 1980): Suppose $(A, G, \alpha)$ is a C*-dynamical system, where $G$ is a locally compact abelian group. Then the cross product $A \rtimes_\alpha G$ is simple if and only if $A$ is $\alpha$-simple and the strong Connes spectrum of $\alpha$ is equal to the dual group of $G$.

The main references are the following two articles:

• Olesen & Pedersen - Applications of the Connes spectrum to C*-dynamical systems (1978)
• Kishimoto - Simple crossed products of C*-algebras by locally compact abelian groups (1980).

המושג של “פונקציה הרמונית” חוזר לעבודות של לפלס ופוריה (במאה ה-18!) ויש לו חשיבות עצומה בפיסיקה, הנדסה, ומדעים בכללי. בעזרת ״ההרמוניות״ השונות ניתן לתאר את כל הגלים האפשריים. זה, למשל, מהווה את הבסיס לקידוד mp3. במאות ה-19 וה-20 הכלילו את המושג גם לאוביקטים מתמטיים מודרניים יותר, והחשיבות הגיאומטרית שלו הובנה יותר. אנחנו נשוחח על הגדרה גיאומטרית של פונקציה הרמונית, שהיא כללית למדי. נסביר איך ניתן להשתמש בפונקציות כאלה כדי לספור מסלולים פשוטים - שזו בעיה קשה בפני עצמה.

אני אשתדל להסביר את כל המושגים המופיעים בתקציר במהלך ההרצאה.

A discrete set $Y$ in $R^d$ is called a dense forest if for every positive $\epsilon$, $Y$ is epsilon close to all line segments of length $V(\epsilon)$, for some function $V(\epsilon)$. We will discuss the intuition of this definition and the motivation for having such sets. Then I will present three constructions for dense forests by Bishop-Peres, S.-Weiss, and by Alon, that use basic Diophantine approximations, homogeneous dynamics, and the Lovasz local lemma, respectively. The focus will be on our result (jointly with Barak Weiss) for which I hope to give all the details of the construction. All the definitions and the background will be given in the talk.