Activities This Week

For an ergodic measure preserving dynamical system $(X, \cal B, \mu, T)$ and a measurable function $f$ with values in $\mathbb{Z}$, we consider for $x \in X$ the set of values of the ergodic sums $S_nf(x):= \sum_0^{n-1} f(T^k x), n \geq 1$.

If $f$ is integrable with $\mu(f) > 0$, several properties of this set (from the point of view of recurrence or arithmetic sets) are simple consequences of Bourgain’s results (1989).

For example, the set ${S_nf(x), n \geq 1}$ contains infinitely many squares for a.e. $x$. If $f$ is not integrable, this property may fail, as shown by a construction of M. Boshernitzan. We give also a counter-example of an integrable centered function $f$ for which the cocycle $(S_nf(x), n \geq 1)$ is non regular and the property fails.

I will introduce the definitions of mutual and tight stationarity due to Foreman and Magidor. These notions generalize the property of stationarity from subsets of a regular cardinal to sequences of subsets of different regular cardinals (or, by some interpretations, to singular cardinals). Tight stationarity will then be related to pcf theory, and from a certain pcf-theoretic assumption we will define a ccc forcing which arranges a particularly nice structure in the tightly stationary sequences.

The goal of this talk is to explain the connection of spectral flow to K-theory/K-homology, and to introduce the p-summable integral formula for spectral flow. Recall that spectral flow (introduced in the talk on Nov. 1st) measures, for a path of Breuer-Fredholm self-adjoint operators, the net amount of spectrum which crosses zero in the positive direction as you move along the path. In a specific context, the spectral flow can be used to calculate the index pairing between K-theory and K-homology. I will start with a bird’s eye view of K-theory and K-homology, leading up to the main result of the talk, which is the p-summable integral formula for spectral flow.

בימיו המוקדמים של החשבון הדיפרנציאלי היה נפוץ השימוש במספרים “אינפינטסימליים”, כלומר, מספרים חיוביים הקטנים מכל מספר ממשי. מספרים אלה שימשו (בעיקר אצל לייבניץ) בבניות הבסיסיות ביותר, ובטיעונים לגביהן. למרות זאת, לא ניתנה הגדרה או בניה מפורשת שלהם, ובהמשך, כשנתגלה הצורך בהגדרות מדויקות יותר, מונחים אלה ננטשו לטובת גישות אחרות, אשר הבשילו, בסופו של דבר, לגישת ה-“$\epsilon-\delta$” המוכרת לנו כיום.

בשנות ה-60 של המאה הקודמת הלוגיקאי אברהם רובינסון הסביר שבאמצעות כלים בסיסיים של לוגיקה מתמטית ניתן להגדיר בצורה מדויקת שדה מספרים “לא סטנדרטיים” המכיל את הממשיים וגם מספרים אינפינטסימליים. יתר-על-כן, שדה זה דומה מאד, מבחינת התכונות הפורמליות שלו לשדה המספרים הממשיים, וניתן להוכיח באמצעותו טענות על הממשיים “האמיתיים”, בצורה האינטואיטיבית בה עשו זאת לייבניץ ובני תקופתו. רובינסון ומתמטיקאים אחרים אף השתמשו בשיטות אלה על-מנת להוכיח משפטים חדשים.

בהרצאה אני אסביר (בצורה לא לגמרי מדויקת) איך מתקבלים המספרים הלא-סטנדרטיים, מהן התכונות שלהם, ואראה מספר שימושים באנליזה ובתחומים נוספים.

This will be an organizational meeting for this new seminar. Please bring or send your time constraints.

Time premitting I will also give a short survey talk: Uniformly recurrent subgroups and groups with a trivial amenable radical that fail to be $C^*$-simple. In this I will describe the new construction by Adrien Le-boudec of such groups, following the criterion for $C^*$-simplicity by Kalantar-Kennedy.